Shartli ehtimol. To’la

Hodisalarning bog’liqligi. Shartli ehtimol.

18.2-rasm

Bitta tajriba bilan bog’liq bo’lgan ikkita 𝐴 va 𝐵 hodisalarni qaraymiz. Tajriba natijasida 𝐵 hodisaning yuz berishi 𝐴 hodisaning yuz berishiga qanday ta’sir qiladi degan savol tug’iladi.𝐴 va 𝐵 hodisalar orasidagi bog’liqlikni quyidagi ikkita muhim holni misolda ko’rish mumkin: 𝐵 hodisaning yuz berishi 𝐴 hodisaning albatta yuz berishiga olib keladi yoki aksincha 𝐵 hodisaning yuz berishi 𝐴 hodisaning yuz berishini istisno qiladi.
2-Ta’rif. 𝐴 hodisaning yuz berish ehtimolligi 𝐵 hodisaning yuz bergan yoki yuz bermaganligiga bog’liq bo’lsa, 𝐴 hodisa 𝐵 hodisaga bog’liq deyiladi.
Ehtimollar nazariyasida 𝐴 va 𝐵 hodisalar orasidagi bog’liqlikni 𝐵 hodisa yuz bergan shartda 𝐴 hodisaning 𝑃(𝐴|𝐵) shartli ehtimoli tavsiflaydi va u
𝑃⁽𝐴^|𝐵⁾ = 𝑃(𝐴𝐵)/𝑃(𝐵) (12) formulaga ko’ra hisoblanadi (𝐵 hodisaning ehtimoli noldan farqli deb faraz qilinadi).
𝐴 hodisa yuz bergan shartda 𝐵 hodisaning 𝑃(𝐵|𝐴) shartli ehtimoli ham xuddi shu singari aniqlanadi:
𝑃⁽𝐵^|𝐴⁾ = 𝑃(𝐴𝐵)/𝑃(𝐴), 𝑃(𝐴) G 0. (13) 3-Ta’rif. 𝐴 hodisaning 𝐵 hodisa yuz bergan shartda 𝑃(𝐴|𝐵) shartli ehtimoli uning shartsiz ehtimiliga teng, ya’ni

𝑃⁽𝐴^|𝐵⁾ = 𝑃(𝐴) (14)
tenglik o’rinli bo’lsa, 𝐴 hodisa 𝐵 hodisaga bog’liq emas deyiladi.
2-Teorema. Agar 𝐴 hodisa 𝐵 hodisaga bog’liq bo’lmasa, 𝐵 hodisa ham 𝐴 hodisaga bog’liq bo’lmaydi.
Shunday qilib ikkita hodisadan biri ikkinchisiga bog’liq bo’lmasa, ikkinchisi ham birinchisiga bo’g’liq bo’lmaydi, ya’ni ular o’zaro bog’liq bo’lmagan hodisalar.

12. 
    Misol. Qutida 5 ta oq va 4 ta qora rangli shar bor. Qutidan ketma-ket ikki marta bittadan shar olindi. Ushbu 𝐵 = {birinchi olinishda oq rangli shar bo’lgan},
    

𝐴 = {ikkinchi olinishda oq rangli shar bo’lgan} hodisalar uchun, 𝑃(𝐴|𝐵) shartli ehtimolni toping.

• 
  Masala shartiga ko’ra qutida jami 9 ta shar bo’lib, ulardan 5 tasi oq rangda bo’lgan. U holda birinchi olinishdan so’ng qutida 8 ta shar qoladi va ulardan 4 tasi oq rangda. Shuning uchun 𝑃⁽𝐴|𝐵⁾ = 4/8 = 1/2.
  

Endi 𝑃⁽𝐴|𝐵⁾ ehtimolni (18.16) formulaga ko’ra topamiz. 𝑃⁽𝐵⁾ = 5/9 ekanligi ravshan. 𝑃(𝐴𝐵) ehtimolni topamiz: 𝑛 = 9 · 8 = 72 va 𝑚⁽𝐴𝐵⁾ = 5 · 4 = 20. Demak
𝑃⁽𝐴𝐵⁾ = 20/72 = 5/18. U holda (18.16) formuladan 𝑃⁽𝐴^|𝐵⁾ = ⁽5/18⁾: ⁽5/9⁾ = 1/2 yuqorida topilgan ehtimolga ega bo’lamiz. ◄