Shartli ehtimol. To’la

Teorema.𝑛marta tajriba o’tkazilganda 𝐴 hodisa 𝑘, 𝑘 = 0^̅̅̅,^̅𝑛^̅ marta yuz berishining

𝑃_𝑛(𝑘) ehtimoli Bernulli formulasi deb ataluvchi ushbu

𝑛
𝑃_𝑛⁽𝑘⁾ = 𝐶^𝑘𝑝^𝑘𝑞^𝑛−𝑘 (19)
formula bilan hisoblanadi.
Bernulli formulasidan ikkita muhim natija kelib chiqadi.

1. 
   𝑛 marta tajriba o’tkazilganda 𝐴 hodisa kamida 𝑘₁ marta va ko’pi bilan 𝑘₂
   

marta yuz berish ehtimoli

formula bilan hisoblanadi.

𝑘₂

𝑛
𝑃⁽𝑘₁ ≤ 𝑘 ≤ 𝑘₂⁾ = ∑
𝑘=𝑘₁

𝐶^𝑘𝑝^𝑘𝑞^𝑛−𝑘 (20)

2. 
   𝑘₁ = 1 va 𝑘₂ = 𝑛 bo’lgan xususiy holda (18.26) formuladan 𝑛 marta tajriba o’tkazilganda 𝐴 hodisa kamida 1 marta yuz berish ehtimoli uchun
   

𝑃⁽𝑘 ≥ 1⁾ = 1 − 𝑞^𝑛 (21)
formulani hosil qilamiz.

16. 
    Misol. O’yin toshi 8 marta tashlandi. Toshning ustki qismiga 6 raqamining:
    
    1. 
       3 marta;
       
    2. 
       ko’pi bilan 3 marta;
       
    3. 
       kamida bir marta tushish ehtimollarini hisoblaymiz.
       

• 
  1) Bu yerda 𝑝 = 1/6 va 𝑞 = 5/6 bo’ladi, u holda (18.25) Benulli formulasiga ko’ra
  

₁ 3

8
𝑃₈⁽3⁾ = 𝐶³ (₆)
(⁵)

5
6
175000
⁼ 1679616
≈ 0,1042;

2) 𝑘₁ = 0 va 𝑘₂ = 3 va (18.26) formulaga ko’ra

8

0
𝑃⁽𝑘 ≤ 3⁾ = 𝐶⁰ (¹)
6
₅ 8
(₆)
+ 𝐶¹ (¹)

8

1
6
(⁵)

7
6
+ 𝐶² (¹)

8

2
6
(⁵)

6
6
+ 𝐶³ (¹)

8

3
6
₅ 5
(₆) =

5⁸ + 8 · 5⁷ + 28 · 5⁶ + 56 · 5⁵ 1206250
⁼ 1679616 ⁼ 1679616 ^{≈ 0,718;}
3) (21) formulaga ko’ra

( )
𝑃⁽𝑘 ≥ 1⁾ = 1 − ⁵
6
talab qilingan ehtimollarni topdik.◄
₌ 1288991 _{≈ 0,767}

8
1679616

Agar 𝑃_𝑛(𝑘) ehtimol 𝑘 = 𝑘₀ bo’lganda eng katta qiymatni qabul qilsa, ya’ni k= 0,1,2, … , 𝑛, 𝑘 G 𝑘₀ quymatlarda 𝑃_𝑛(𝑘₀) ≥ 𝑃_𝑛(𝑘) tengsizlik o’rinli bo’lsa, 𝑘₀ soni
𝑛 marta tajriba o’tkazilganda 𝐴 hodisa yuz berishlarining eng ehtimolli soni deb ataladi.
Endi ana shu eng ehtimolli sonni topamiz. Buning uchun 𝑃_𝑛(𝑘 + 1) va 𝑃_𝑛(𝑘)
ehtimollarning nisbatini qaraylik:

𝑃 ⁽𝑘 + 1⁾

_𝐶𝑘+1_𝑝𝑘+1_𝑞𝑛−𝑘−1
𝑛!
_𝑝𝑘+1_𝑞𝑛−𝑘−1


⁽𝑛 − 𝑘⁾𝑝

𝑛 ₌ 𝑛 ₌ ⁽𝑘+1⁾!⁽𝑛−𝑘−1⁾! ₌

𝑛
𝑃_𝑛⁽𝑘⁾
_𝐶^𝑘_𝑝𝑘_𝑞𝑛−𝑘
𝑛! _𝑝𝑘
𝑘!⁽𝑛−𝑘⁾!
_𝑞𝑛−𝑘
⁽𝑚 + 1⁾𝑞

tenglikka ega bo’ldik. Shuning uchun bu tengsizlikdan agar ⁽𝑛 − 𝑘⁾𝑝 > ⁽𝑚 + 1⁾𝑞
ya’ni 𝑛𝑝 − 𝑞 > 𝑘 bo’lsa, 𝑃_𝑛⁽𝑘 + 1⁾ > 𝑃_𝑛(𝑘) bo’lishi, agar 𝑘 = 𝑛𝑝 − 𝑞 bo’lsa
𝑃_𝑛⁽𝑘 + 1⁾ = 𝑃_𝑛(𝑘) bo’lishi va nihoyat 𝑘 > 𝑛𝑝 − 𝑞 bo’lsa 𝑃_𝑛⁽𝑘 + 1⁾ < 𝑃_𝑛(𝑘) bo’lishi kelib chiqadi.

0
Ko’rinib turibdiki 𝑃_𝑛(𝑘) ehtimollik 𝑘 yuz berishlar soni osishi bilan o’sib boradi, so’ngra u o’zining maksimum qiymatiga erishadi va nihoyat kamayib boradi. Shuning bilan birga agar 𝑛𝑝 − 𝑞 butun son bo’lsa, 𝑃_𝑛(𝑘) ehtimol 𝑘 ning ikkita qiymatida, aniqrog’i 𝑘₀ = 𝑛𝑝 − 𝑞 va 𝑘^′ = 𝑛𝑝 − 𝑞 + 1 = 𝑛𝑝 + 𝑝 bo’lganda maksimal qiymatga erishadi. Agarda 𝑛𝑝 − 𝑞 butun son bo’lmasa 𝑃_𝑛(𝑘) ehtimollik
𝑛𝑝 − 𝑞 sondan katta eng kichik butun sonda maksimal qiymatga erishadi. Shunday qilib, 𝑛 marta tajriba o’tkazilganda 𝐴 hodisa yuz berishlarning eng ehtimolli 𝑘₀ soni

tengsizlik orqali aniqlanar ekan.

𝑛𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑘₀ ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝 (22)

16. 
    Misol. Teng kuchli raqibni to’rt partiyadan uchtasida yutishmi yoki sakkiz partiyadan beshtasida yutish ehtimollimi? Bu yerda partiyada durang natija istisno qilinadi deb faraz qilinadi.
    

• 
  Masala shartiga ko’ra raqiblar teng kuchli, shuning uchun har bir partiyada yutish ham yutqazish ham teng: 𝑝 = 𝑞 = 1/2. To’rt partiyadan uchtasida yutish ehtimoli Bernulli formulasiga ko’ra hisoblaymiz:
  

𝑃 ⁽3⁾ = 𝐶³𝑝³𝑞¹ = <sup>4 1




4 4</sup> 16 ⁼ 4^.
Xuddi shu singari sakkiz partiyadan beshtasida yutish ehtimolligini hisoblaymiz:


𝑃 ⁽5⁾ = 𝐶⁵𝑝⁵𝑞³ = ⁵⁶ = ⁷ .
^{8 8} 256 32
1/4 > 7/32 bo’lganligi uchun, to’rt partiyadan uchtasida yutish ehtimolliroq.◄

Muavr-Laplasning lokal formulasi.

Agar Bernulli sxemasida tajribalar soni 𝑛 yetarlicha katta, 𝐴 hodisaning yuz berish 𝑝 ehtimoli va yuz bermaslik 𝑞 ehtimoli ham katta bo’lsa, u holda barcha 𝑘 uchun
𝑃_𝑛⁽𝑘⁾ ≈ 𝜑(𝑥)/_√𝑛𝑝𝑞 (23)
Muavr-Laplasning lokal formulasi o’rinli bo’ladi, bu yerda

𝑘 − 𝑛𝑝
_{1 −𝑥}2

𝑥 = , 𝜑⁽𝑥⁾ = 𝑒 ² .
_√𝑛𝑝𝑞 √2𝜋
𝜑(𝑥) funksiya standart normal (yoki gauss) taqsimotining zichlik funksiyasi deb ataladi.
𝑥 o’zgaruvchining ayrim qiymatlarida 𝜑(𝑥) funksiyaning qiymatlari 2-ilovada keltirilgan. 𝜑(𝑥) funksiya juftligi tufayli 𝑥 o’garuvchining manfiy qiymatlarida 𝜑(𝑥) funksiyaning qiymati
𝜑⁽𝑥⁾ = 𝜑(−𝑥)

tenglikdan foydalanilib aniqlanadi.

16. 
    Misol. Agar har bir tajribada 𝐴 hodisaning yuz berish ehtimoli 0,25 ga teng bo’lsa, 243 marta tajriba o’tkazilganda 𝐴 hodisa 70 marta yuz berish ehtimolini toping.
    

• 
  Masala shartiga ko’ra 𝑛 = 243, 𝑘 = 70, 𝑝 = 0,25, 𝑞 = 0,75 bo’ladi. 𝑥 ning qiymatini topamiz:
  

_{𝑥 =} 𝑘 − 𝑛𝑝 ₌ 70 − 243 · 0,25

= ^9,25 = 1,37.

√^𝑛𝑝𝑞 √243 · 0,25 · 0,75
6,75

𝜑⁽𝑥⁾ funksiya jadvalidan 𝜑⁽1,37⁾ = 0,1561 qiymatni topamiz. Uni (23) formulaga qo’yib, qidirilayotgan

ehtimolni topamiz.◄

𝑃₂₄₃⁽70⁾ = 0,1561/6,75 = 0,0231

Muavr-Laplasning integral formulasi

Bernulli sxemasi bo’yicha tajribalar soni 𝑛 va har bir tajribada 𝐴 hodisaning yuz berish 𝑝 va yuz bermaslik 𝑞 = 1 − 𝑝 ehtimollari nisbatan katta qiymatlarni qabul qilsa, 𝑘 yuz berishlar soni 𝑘₁ va 𝑘₂ qiymatlar oralig’ida yotish 𝑃(𝑘₁ ≤ 𝑘 ≤ 𝑘₂) ehtimoli uchun
𝑃⁽𝑘₁ ≤ 𝑘 ≤ 𝑘₂⁾ ≈ Φ⁽𝑥₂⁾ − Φ(𝑥₁) (24) taqribiy tenglik o’rinli. Bu yerda


_{𝑥 =} 𝑘₁ − 𝑛𝑝 _{, 𝑥 =} 𝑘₂ − 𝑛𝑝

¹ _√𝑛𝑝𝑞
va
² _√𝑛𝑝𝑞

( ) 𝑥 ¹
𝑥
−𝑦²/2

Φ 𝑥
= ∫ 𝜑(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑒
𝑑𝑦.

^−∞ √^{2𝜋 −∞}
(24) formula Muavr-Laplasning integral formulasi, Φ(𝑥) funksiya esa standart normal (yoki gauss) taqsimot funksiyasi deb ataladi.
5-Ta’rif. Ushbu

𝑥 ₁
𝑥
−𝑦²/2

Φ₀(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑒
𝑑𝑦

⁰ √^{2𝜋 0}

tenglik bilan aniqlanuvchi Φ₀(𝑥) funksiya Laplas integrali deb ataladi. 𝜑(𝑥)
funksiyaning juftligi tufayli Φ₀(𝑥) Laplas integrali toq funksiya bo’ladi, ya’ni
Φ₀⁽−𝑥⁾ = −Φ₀(𝑥)

va bundan tashqari
tenglik o’rinli.

Φ⁽𝑥⁾ = Φ₀⁽𝑥⁾ + 1/2

Laplas integrali yordamida Muavr-Laplasning integral formulasini
𝑃⁽𝑘₁ ≤ 𝑘 ≤ 𝑘₂⁾ ≈ Φ₀⁽𝑥₂⁾ − Φ₀(𝑥₁) (25)
ko’rinishda yozish mumkin.
19-Misol. Fabrikada ishlab chiqarilgan maxsulotning 96% oliy navli. Sifat nazorati uchun 200 ta maxsulot tanlandi. Agar ular orasidan 10 ta maxsulot past navli bo’lib chiqsa, ularning barchasi sexga qaytariladi. Tanlangan 200 ta maxsulotning sifat nazoratidan o’tish ehtimolini toping.

• 
  Masala shartiga ko’ra 𝑛 = 200, 𝑝 = 0,04 (past navli maxsulot ishlab chiqarish ehtimoli), 𝑞 = 0,96. Tanlangan 200 maxsulotning sifat nazoratidan o’tish ehtimolini, ya’ni 𝑃₂₀₀(0 ≤ 𝑘 ≤ 100) ehtimolni (25) formula bo’yicha topamiz. Bu yerda 𝑘₁ = 0 va 𝑘₂ = 10, hamda kerakli qiymatlarni hisoblaymiz:
  

_{𝑥 =} 𝑘₁ − 𝑛𝑝 ₌ 0 − 200 · 0,04



≈ −2,89;

¹ _√𝑛𝑝𝑞 √^{200 · 0,04 · 0,96}

_{𝑥 =} 𝑘₂ − 𝑛𝑝 ₌ 10 − 200 · 0,04

≈ 0,72

² _√𝑛𝑝𝑞 √^{200 · 0,04 · 0,96}
va ularni (25) formulaga qo’yamiz:
𝑃⁽0 ≤ 𝑘 ≤ 10⁾ ≈ Φ₀⁽0,72⁾ − Φ₀⁽−2,89⁾ = Φ₀⁽0,72⁾ + Φ₀⁽2,89⁾ =
= 0,26424 + 0,49807 = 0,7623.
Shunday qilib, tanlangan maxsulotlarning sifat nazoratidan o’tish ehtimoli 𝑃 = 0,7623 ga teng ekan.◄