Mavzu: Ellips turdagi tenglamalarga qo`yilgan chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar (torlar) usulida yechish

Mavzu:Ellips turdagi tenglamalarga qo`yilgan chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar (torlar) usulida yechish

Tor sohasini yasash

Ellips turdagi tenglamalarga qo`yilgan chegaraviy masalalarni yopiq sohasida tor sohasi bilan qoplash kerak.Shu maqsadda

torlar dastalari yurgiziladi. turdagi torlar dastasi Oy o`qiga turdagi torlar dastasi Ox o`qiga parallel bo`ladi.Shu sababli bu torlar kesishib XOY tekisligini tor bilan qoplaydi. sohasi ham tor bilan qoplanadi.Bu yerda

tor OX qadamlari.

l- tor OY qadamlari.

( ba`zi bir nuqta. va torlarni kesilish nuqtalari torning tugunlari deyiladi.Berilgan nuqtadan h uzoqlikda va L uzoqlikda joylashgan torning tugunlari berilgan tugunga qo`shni tugunlar deyiladi.Shuning uchun Ox o`qining yo`nalishi berilgan tugun 2ta Oy o`qining yo`nalishida berilgan tugun 2ta jami 4ta tugun qo`shni bo`ladi.Ichki tugunlarni chegaraviy tugunlarni orqali belgilash qabul qilingan.Shunday qilib yopiq sohasi tor sohasi bilan almashtiriladi.

Torning ichki tugunlarida differensial tenglamani almashtirib chegaraviy tugunlarida differensial tenglamalariga qo`yilgan chegaraviy shartlarni chekli ayirmalar tenglamalarining sistemalari bialn almashtiriladi.Shunda kelib chiqqan chekli ayirmalar sistemalari bilan avvalgi qo`yilgan chekli ayirmalarga mos keladi.Berilgan tenglamalar va unga qo`yilgan chegaraviy shartlar chiziqli bo`lganligi sababli tenglamalarning bu sistemasi chiziqli algebraik tenglamalarning sistemasi bo`ladi.Uni yechishga aniq yoki taqribiy usulni qo`llanib avvalgi berilgan differensial masalaning torlar usuli bilan topilgan taqribiy yechimiga ega bo`lamis.

Tor sohasini yasash

Berilgan chegaraviy masalani chekli ayirmalar tenglamalarning sistemasi bilan almashtirish.

Qulaylik uchun avval quyidagi belgilashlarni kiritamiz.

shu belgilashlardan foydalanib differensial tenglamadagi va chegaraviy shartlardagi birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni quyidagi chekli ayirmalar nisbatlaridan foydalanib almashtiramiz.

Birinchi tartibli hosilalarni chekli ayirma nisbatlari bilan almashtirish

Ikkinchi tartibli hosilalarni almashtirish formulalari

Qulaylik uchun chegaraviy ikkinchi tartibli hosilalarni aniqligi birinchi tartibli hosiladan kam bo`lgan quyidagi formula bilan almashtiriladi.