Mavzu: Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash Adabiyotlar: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Tayanch iboralar

misol. topilsin.

Yechish. Integral ostidagi to’g’ri kasrning maxraji
х³+4x²+4x=x(x²+4x+4)=x(x+2)²
bo’lgani uchun 35.1 –teoremaga ko’ra
bo’ladi. Buni

ko’rinishida yozib
3х²+8=А(х²+4х+4)+B(x²+2x)+Cx=(A+B)x²+(4A+2B+C)x+4A
tenglikka kelamiz. Ikki ko’phadni tengligidan foydalanib

sistemani hosil qilamiz va uni yechib

А=2, В=1, С=-10

bo’lishini topamiz. Demak
.
Buni integrallab berilgan integralni topamiz:

3-misol. topilsin.
Yechish: 35.1- teoremaga ko’ra (35.3)
yoyilmaga ega bo’lamiz, bunda A₁, A₂, M, N hozircha noma‘lum sonlar. (35.3) tenglikning o’ng tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:
.
Bu ayniyatning maxrajlari teng bo’lgani uchun ularning suratlari ham o’zaro teng bo’ladi.
х²-5x+9=A₁(x-1)(x²+2x+2)+A₂(x²+2x+2)+(Mx+N)(x²-2x+1)
yoki
x²-5x+9=A₁(x³+x²-2)+A₂(x²+2x+2)+M(x³-2x²+x)+N(x²-2x+1).
bu yerdagi qavslarni ochib ko’phadni х ning darajalarini kamayishi tartibida joylashtirsak
x²-5x+9=(A+M)x³+(A₁+A₂-2M+N)x²+(2A₂+M-2N)x+(-2A₁+2A₂+N)
bo’ladi.
Tenglikning har ikkala tomonidagi bir xil darajali x lar oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirib qo’yidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Shu sistemani yechib A₁,A₂,M,N larni topamiz. Birinchi tenglamadan A=-M ni topib uni boshqa tenglamalarga qo’ysak

sistemaga ega bo’lamiz. Ikkinchi tenglamani -2 ga ko’paytirib uchinchi va to’rtinchi tenglamalarga qo’shsak

sistema kelib chiqadi. Bu sistemani oxirgi tenglamasini -4ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak -25M=-35 va bundan M= kelib chiqadi. Buni oxirgi sistemaning to’rtinchi tenglamasi 8M-N=7 ga qo’yib N ni aniqlaymiz:
N=8M-7=8∙ .
M va N ning topilgan qiymatlarini oxirgi sistemaning A₂-3M+N=1 tenglamasiga
qo’yib A₂ ni topamiz:
.
Sistemaning birinchi tenglamasidan A₁ =-M=- hosil bo’ladi. Shunday qilib
A₁=- , A₂=1, M= , N=
yechimga ega bo’lamiz. Ushbu qiymatlarni (35.3)ga qo’yib

yoyilmani hosil qilamiz. Buni integrallab berilgan integralni topamiz:
4-misol. integral topilsin.