Mavzu: fibonachchi sonlari reja: Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari

2. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari. Fibonachchi sonlari juda ko‘plab qiziqarli xossalarga ega. Quyida bu xossalardan ba’zilarini keltiramiz.
1- xossa. Dastlabki ta Fibonachchi sonlarining yig‘indisi ( )ga teng, ya’ni
.
Haqiqatdan ham, Fibonachchi sonlarining ta’rifiga ko‘ra

. ■
2- xossa. Toq raqamli dastlabki ta Fibonachchi sonlarining yigindisi ga teng, ya’ni
.
Ravshanki,

.■
3- xossa. Juft raqamli dastlabki ta Fibonachchi sonlarining yig‘indisi ( )ga teng, ya’ni
.
Bu xossani isbotlash uchun, 1- xossaga ko‘ra,

tenglik o‘rinli ekanligini va 2-xossani hisobga olish kifoya:


. ■
Yuqorida isbotlangan 1- va 2- xossalardan foydalanib, Fibonachchi sonlarining ishorasi almashuvchi qatori yig‘indisi haqidagi quyidagi xossasini ham isbotlash mumkin.
4- xossa. Dastlabki ta Fibonachchi sonlari uchun

tenglik o‘rinlidir.
5- xossa. Dastlabki ta Fibonachchi sonlari kvadratlarining yig‘indisi ga teng, ya’ni
.
Haqiqatdan ham, Fibbonachi qatorining ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi va birdan katta ixtiyoriy natural son uchun

tenglik o‘rinlidir. Shuning uchun

. ■
6- xossa. Ixtiyoriy Fibonachchi sonining kvadrati bilan ko‘paytma orasidagi farq birga teng, ya’ni
.
Bu hossani matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz. Baza: uchun
– tasdiq to‘g‘ri.
Induksion o‘tish: bu xossa uchun to‘g‘ri, ya’ni yoki bo‘lsin. Oxirgi tenglikning ikkala tomoniga ifodani qo‘shsak

tenglik va bu tenglikdan

kelib chiqadi. Fibonachchi qatorining aniqlanishidan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:
,
.
Oxirgi tenglikning ikkala tomonini ( )ga ko‘paytirsak, tenglik hosil bo‘ladi. ■
Matematik induksiya usulini qo‘llab Fibonachchi sonlarining quyidagi 7–10- xossalarni ham isbotlash mumkin: