Mavzu: Funksiya limiti Reja

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz dеyilаdi vа Dy=0 kabi yozilаdi. x=x<sub>0</sub>+Dx, Dx=x-x<sub>0</sub>, Dy=f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>), Dy=f(x)-f(x<sub>0</sub>)
Dy= (f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x<sub>0</sub>+x-х<sub>0</sub>)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x)-f(x<sub>0</sub>))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+Dy=2(x+Dx)+1, ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx
Dy= 2Dx =0
2) y=x³
y+Dy=(x+Dx)³
Dy=x³+3x²Dx+3x(Dx)²+Dx³ Dy=x³+3x²Dx+3xDx²+Dx³-x³
Dy=Dx(3x²+3xDx+Dx²)
Dy= (3x²+3xDx+Dx²)Dx=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning "x₀ÎR nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. "x₀ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x₀+Dx)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -p<Dx<p bo`lganda
|Dy| = |cos(x₀+Dx) - cosx₀|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) lar mavjud, lekin f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x<sub>0</sub> nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x<sub>0</sub> nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)¹f(x<sub>0</sub>) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x<sub>0</sub>=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.
Yechish. Demak,  [x]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.