Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

---

Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash 
1. Funksiyaning limit qiymati
1. Ushbu bobda funksiya deganda biz E ‰ to’plamni R sonlar o’qiga akslantirishni 
tushunamiz. Bunday funksiyalar sonli funksiyalar ham deyiladi. Shunday qilib, agar 
f funksiya bo’lsa, u biror E ‰ R to’plamdan olingan har bir haqiqiy x songa 
haqiqiy f (x) sonni mos qo’yadi. Bunda E to’plam f funksiyaning aniqlanish sohasi 
deyiladi va ba’zan D(f ) simvol orqali belgilanadi. Biz yana quyidagi belgilashdan 
ham foydalanamiz: f : E ! R .
Bir xil aniqlanish sohasiga ega bo’lgan ikki f va g funksiyalarning yig’indisi f + g, 
ayirmasi f ¡ g va ko’paytmasi f ¢ g tabiiy ravishda aniqlanadi: 
( f + g )(x) = f ( x ) + g (x); ( f ¡ g )(x) = f ( x ) ¡ g (x); ( f ¢ g )(x) = f ( x ) ¢ g(x): 
Biz aslida f va g funksiyalar turli aniqlanish sohaga ega bo’lganda ham, ya’ni 
D ( f ) = D ( g ) bo’lganda ham, ularning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmalarini 
aniqlashimiz mumkin. Bunda biz f + g yig’indi, f ¡ g ayirma va f ¢g ko’paytmalarni 
ikki aniqlanish sohalarning kesishmasi D(f ) \ D(g) da aniqlangan deb hisoblaymiz. 
3.1.1 - Misol. Agar n manfiy bo’lmagan butun son va a
0
; a
1
; :::; a
n
biror 
o’zgarmas sonlar bo’lsa, quyidagi 
f ( x ) = a
0
x
n
+ a
1
x
n ¡ 1
+ a
2
x
n ¡ 2
+ ¢ ¢ ¢ + a
n ¡ 1
x + a
n
ko’rinishda aniqlangan funksiyaga ko’phad deyiladi. 
B u f ko’phadning aniqlanish sohasi butun sonlar o’qidir: 
D ( f ) = R = ( ¡ 1 ; 1 ) :
Agar a
0 
= 0 bo’lsa, n songa ko’phadning darajasi deyiladi. a
0
; a
1
; :::; a
n
sonlar 
ko’phadning koeffitsientlari deyiladi, bunda a
0 
soni yana katta koeffitsient ham deb 
ataladi. 
0-darajali ko’phad o’zgarmas funksiya deyiladi: 
f ( x ) = c; 
c = const: 
1-darajali ko’phad chiziqli funksiya deyiladi: 
f ( x ) = kx + b; 
k = 0: 
2-darajali ko’phad kvadratik funksiya deyiladi: 
f ( x ) = ax
2 
+ bx + c; 
a = 0: 
1.1 - Tasdiq. Agar f va g ko’phadlar bo’lsa, f + g , f ¡ g va f ¢ g funksiyalar 
ham ko’phad bo’ladi. 
1

---

Isbot o’z-o’zidan ko’rinib turibdi. Aslida ko’phadni, yuqorida kiritilgan uch 
arifmetik amallarni o’zgarmas va f ( x ) = x funksiyalarga chekli marta qo’llash 
natijasida hosil bo’lgan funksiya, deb ham ta’riflash mumkin edi. Shu ma’noda 
1.1 - Tasdiqni ko’phadning ta’rifi deb qarasa bo’ladi. 
2. Agar g funksiyaning aniqlanish sohasidagi barcha x lar uchun g(x) = 0 shart 
bajarilsa, ikki f va g funsiyalarning 
g 
nisbati quyidagi 
µ
f
f ( x )
g 
g (x) 
tenglik orqali aniqlanadi. 
Xuddi yuqoridagidek, biz