Mavzu: Funksiyalar kompazitsiyasining uzluksizligini isbotlash

g 
nisbatni f va g funksiyalar turli aniqlanish sohalarga 
ega bo’lganda ham aniqlashimiz mumkin, lekin bunda biz doim nisbatning aniqlanish 
sohasi deb ikki f va g funksiyalar aniqlanish sohalari kesishmasidan g funksiyaning 
nollari chiqarib tashlangan to’plamni olamiz: 
µ
D  
g 
= D ( f ) \ D ( g ) n f x : g (x) = 0g: 
1.2 - Misol. Agar P va Q lar ko’phadlar bo’lib, Q(x) · 0 bo’lsa (ya’ni Q -
nolga teng nolinchi darajali ko’phad bo’lmasa), quyidagi 
f ( x ) =
Q(x) 
funksiyaga ratsional funksiya deb ataladi. 
Ravshanki, f =
Q 
ratsional funksiyaning aniqlanish sohasi sonlar o’qidan maxrajning 
nollarini chiqarib tashlangan to’plamga teng: 
D ( f ) = R n f x : Q(x) = 0g: 
Xususan, maxrajni Q(x) · 1 deb hisoblab, har qanday ko’phadni ratsional 
funksiya deb qarashimiz mumkin. 
3.1.2 - Tasdiq. Agar f va g ratsional funksiyalar bo’lsa, f + g , f ¡ g , f ¢ g va 
g 
( g (x) = 0 bo’lganda) funksiyalar ham ratsional funksiyalar bo’ladi. 
Isbot ratsional funksiyaning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. E’tibor bering, 
har bir ratsional funksiya o’zgarmas va f (x) = x funksiyalarga yuqoridagi to’rtta 
(qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish) arifmetik amallarni chekli marta qo’llash 
natijasi deyish mumkin. Shu ma’noda 3.1.2 - Tasdiqni ratsional funksiyaning ta’rifi 
deb qarasa ham bo’ladi. 
Funksiya o’z aniqlanish sohasining turli qismlarida turli formulalar orqali berilishi 
ham mumkin. 
1.3 - Misol. Signum funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: 
< ¡ 1 ; agar x < 0 bo’lsa, 
sign x =
0; agar x = 0 bo’lsa, 
1; agar x > 0 bo’lsa.

---

M A T E M A T I K T A H L I L
3 
Bu funksiyaning aniqlanish sohasi butun sonlar o’qidir. Istalgan x 2 R uchun 
quyidagi ikki tenglikning o’rinli ekanini oddiy hisoblashlar orqali ko’rsatish mumkin: 
x ¢ sign x = jxj; 
jxj ¢ sign x = x; 
x 2 R :
Navbatdagi misolda funksiyalarning umuman antiqa ko’rinishga ega bo’lishini 
ko’rishimiz mumkin. 
1.4 - Misol. Dirixle funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: 
1; agar x ratsional bo’lsa, 
0; agar x irratsional bo’lsa. 
Bu funksiyaning ham aniqlash sohasi butun sonlar o’qidir, ya’ni R. 
3. Funksiyalarni o’rganishda ularning grafigi (ya’ni koordinatalar tekisligining 
funksiya bilan bog’liq bo’lgan muayyan qismiy to’plami) muhim rol o’ynaydi. 
Eslatib o’taylik, agar x 2 R va y 2 R bo’lsa, R
2 
koordinatalar tekisligi deganda 
biz barcha tartiblangan (x; y ) juftliklar to’plamini tushunar edik. Tartiblangan 
(x; y) juftlik tekislikning nuqtasi, x va y sonlar esa uning koordinatalari ham deyiladi. 
Birinchi koordinatani ba’zan abssissa va ikkinchisini esa - ordinata deb atashadi. 
f : E ! R funksiyaning grafigi deb quyidagi: 
Γ ( f ) = f ( x ; f ( x ) ) 2 R
2
;  
x 2 E g
ko’rinishda aniqlangan Γ(f ) ‰ R
2
to’plamga aytiladi. 
Boshqacha aytganda, f funksiyaning grafigi - bu koordinatalari y = f ( x ) munosabat 
bilan bog’langan barcha (x; y) juftliklar to’plamidir. 
Odatda funksiya grafigini doskada tasvirlaganda, abssissalar o’qini gorizontal 
ravishda chizib, musbat abssissalik nuqtalar manfiy abssissalik nuqtalardan o’ngda 
joylashtiriladi, ordinatalar o’qini esa vertikal ravishda chizib, musbat ordinatalik 
nuqtalar manfiy ordinatalik nuqtalardan yuqorida joylashtiriladi. 
Bunday tanlashda funksiyalarning grafigi odatda silliq egri chiziqlardan iborat 
bo’ladi, shu bilan birga, agar har bir shunday egri chiziqni istalgan vertikal to’g’ri 
chiziq bilan kessa, to’g’ri chiziq va grafik oshib borsa bir marta kesishadi. Masalan, 
1.1 - Misolda ko’rilgan ko’phadlar shunday grafikka ega. Grafiklar, silliq chiziq 
bo’lsada, cheksizlikka ham ketib qolishi mumkin. Masalan, 3.1.2 - Misolda ko’rilgan 
ratsional funksiyalar grafigi ana shunday xossaga ega. 
Ba’zi funksiyalar grafigi uzilgan (odatta uzilishga ega bo’lgan deb ataladi) egri 
chiziqdan iborat bo’ladi. Misol tariqasida 3.1.3 - Misolda qaralgan funksiya grafigini 
olish mumkin. Nihoyat, Dirixle funksiyasi shunday grafikka egaki, uni qog’ozda 
eskiz ravishda ham tasvirlash qiyin. Bu grafik to’g’risida biroz tassavurni quyidagi 
rasm beradi: 3.000. 
4. Funksiyalarning eng muhim xossalaridan biri- ularning uzluksizligidir. Uzluksiz 
funksiyalar to’g’risida geometrik tasavvurni uzluksiz deb ataladigan egri chiziqlar 
berishi mumkin, ya’ni shunday egri chiziqlarki, ularni chizganda qalam qog’ozdan 
ko’tarilmaydi. Oddiy qilib aytganda, grafigi uzluksiz egri chiziqdan iborat bo’lgan 
funksiya uzluksiz funksiyadir. 
Albatta, bu yerda keltirilgan fikr faqat intuitiv mulohazalar bo’lib, ularni matematik 
ma’noda qat’iylashtirish ancha murakkabdir. Odatda uzluksiz funksiyalar limit 
qiymat tushunchasi orqali ta’riflanadi. Biz ham ana shu yoldan boramiz.

---

Avval misol tariqasida quyidagi ratsional funksiyani qaraylik: