Mavzu: Funksiyalarini Nyuton formulalari yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash Reja

1- xossa. Algebraik yig'indidan olingan ayirmalar nisbati qo‘shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig‘indisiga teng.

2- xossa. O ‘zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

3- xossa. Ayirmalar nisbati o ‘z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir.

4- xossa. m-darajali algebraik ko ‘phaddan olingan k-tartibli ayirmalar nisbati, agar k>m b o ‘lsa nolga, k = m da o'zgarmasga va k< m b o ‘lsa argumentlariga nisbatan

(m - k )-darajali simmetrik birjinsli k o ‘phadga teng.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya uchun y₁= f(x) qiymatlar berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo'lsin, ya’ni x_i=x₀+ih (i=0,1,2,.... h) (h- interpolyatsiya qadami). Argumentning mos qiymatlarida darajasi h dan oshmaydigan mos qiymatlar oladigan ko'phad tuzish lozim bo'lsin va bu ko'phad quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+..+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (7)

Bu n-tartibli ko'phad. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko'ra

P_n(x) ko'phad x₀, x₁ ..., x_n interpolyasiya tugunlarida P_n(x₀)=y₀,P_n(x ₁)=y ₁, P_n(x₂)=y₂ .... , P_n(x_n)=y_n qiymatlarni qabul qiladi, x=x0 deb tasavvur etsak, (7) formuladan y₀=P_n(x₀)=a₀, ya’ni a₀=u₀, so'ngra x ga x₁ va x₂ larning qiymatlarini berib, ketma-ket quyidagiga ega bo'lamiz:

ya`ni

Yoki y₂-2y₁+y₀=2h²a₂,bundan

Bu jarayonni davom ettirib, x=x_n uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Topligan a₀,a₁,a₂,…,a_n koeffitsientlarning qiymatlarini (7) formulaga qo'ysak,

(8)

ko'rinishga ega bolamiz. Bu formulada

ya`ni x=x₀+hq belgilash kiritilsa, u holda

Natijada Nyutonning 1-interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz:

(9)

Nyutonning 1- interpolyatsion formulasini [a, b] ning boshlangich nuqtalarida qollash qulay.

Agar n=1 bo'lsa, u holda P₁(x) = y ₀ +qy₀ko`rinishidagi chiziqli interpolyatsion formulaga, n=2bo'lganda esa

ko'rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo'lamiz.

Nyutonning 1- formuiasini oldinga qarab inierpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi.

(9) formulaning qoldiq hadi

(10)

bu yerda ϵ[x₀,x_n].

Funksiyaning analitik ko'rinishi har doim ham ma’lum bo'lavermaydi. Bunday hollarda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. U holda Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik

(11)

formula orqali topiladi.

Nyutonning birínchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bolsín,ya’ni argumentning

n= 1 x₀, x₁,x₂,...x_n qiymatlarida funksiyaning qiymatlari y₀,y₁, ...y_n bo`lsin. Tugunlar orasidagi masofa h o'zgarmas bo’lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni

quramiz:

(12)

Bunda qatnashayotgan a₀, a₁ .... a_n noma’lum koeffitsientlarni topishni x=x_n bo’lgan holdan boshlash kerak. So'ngra argumentga x_n-1,x_n-2, ... qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.

Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (12) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a₁, a₂ , ....a_n larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga qo‘ysak,

(13)

ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada q={x-xn)/h belgilash kiritsak,

(14)

hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (14) formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.

Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha boladi:

bu yerda q=(x-x_n)/h,ϵ [x₀, x_n].

Agar funktsiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi

bo`ladi.