Mavzu: Funksiyalarini Nyuton formulalari yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash Reja

Mavzu: Funksiyalarini Nyuton formulalari yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

Reja:

1. Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi 2.Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi

3.Nyuton interpolyatsion ko‘phadi

4.Teskari interpolyatsiyalash

Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida qatnashadigan funktsiyalarni unga biror muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo'lgan funktsiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan.

Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik y=f(x) funktsiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin:

Y_o=f(x₀), y ₁=f(x₁) ..... ,y_n=f(x_n)

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan P(x)*Pn{x) ko'phad topish kerakki, P(x_i) berilgan x_i=(i=0,1, .... n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiy- matlarni qabul qilsin, ya’ni P(x_i)=y_i.

Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi n dan ortmaydigan shunday

у=Р_n(х)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1 ...+ а_n (1)

ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan M(x_i, у_i ) (i=0,1,… n) nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi x_i (i=0,1,2,.. n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.

(1-rasm)

Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funktsiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. (Agar xϵ (a, b) bo'lsa interpolyatsiyalash x ϵ[a, b]bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi).Biz f(x) funksiyani interpolyatsion L_n(x) ko‘phadga almashtirganimizda

ω_n(x) = f(x)- L_n(x),

xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. [a ,b ] ga tegishli ixtiyoriy x nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:

(1)

bu yerda zϵ[a,b],K- o‘zgarmas va

(2)

(1)dagi o ‘zgarmas K ni λ(x) = 0 shartdan topamiz:

(3)

f(z) funksiya [a ,b] da n + 1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin deymiz. λ (z) funksiya [a ,b] da n + 2 ta nuqtada nolga teng,ular x ,x <sub>0</sub>,x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>. Roll teoremasiga asosan, λ '(z) [a ,b ] ga tegishli n + 1 ta, λ”(z) n ta nolga ega bo`ladi va hokazo.λ⁽ⁿ⁺¹⁾(z) [a,b] da kamida bitta nolga ega bo'ladi, ya'ni λ⁽ⁿ⁺¹⁾() = 0, €[a ,b ] (1) dan n + 1 marta hosila olib, z = , desak, quyidagiga ega b o ‘lamiz:

(4)

(3) va (4) dan

(5)

kelib chiqadi.Bundan

(6)

bunga ega bo`lamiz,b u yerda M_n+1=sup|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|

[a,b]

Bizga [a ,b] da aniqlangan f(x) funksiyaning [a ,b ] ga tegishli turli { x_k }_k=0ⁿ nuqtalarda qiymatlari ma’lum bo‘lsin.

Quyidagicha aniqlangan

miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi, ular yordamida aniqlangan

miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi.

Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan,

k-tartibli f(x_i,x_i+1,…,x_i+k) va f(x_i+1,x_i+2,…,x_i+k+1) ayirmalar nisbati

m a’lum bo ‘lsa, (k + 1) -tartibli ayirmalar nisbati

aniqlanadi, i = 0 ,1 ,...,n-k-1

Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega.