Mavzu: funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiali

MAVZU: FUNKSIYANING YUQORI TARTIBLI HOSILA VA DIFFERENSIALI
Reja: 
1. Yuqori tartibli hosila
2. Yuqori tartibli differensiallar
1. Yuqori tartibli hosila
funksiya biror intervalda aniqlangan bo‘lib, shu intervalda differensiyallanuvchi bo‘lsin. U holda  hosila  ning funksiyasi bo‘ladi. Shu sababli bu funksiya uchun hosilaning mavjudligi va uni hisoblash masalalarsini qo‘yish mumkin.
ga birinchi tartibli hosila deyiladi.  funksiyaning hosilasidan olingan hosilaga ikkinchi tartibli hosila deyiladi. Ikkinchi tartibli hosila mavjud bo‘lsa, bu hosiladan olingan hosila uchinchi tartibli hosila deyiladi va hokazo. Hosilalar ikkinchi tartiblidan boshlab yuqori tartibli hosila deyiladi va (yoki
Yoki  kabi belgilanadi. 
Misol
bo‘lsa,  ni topamiz:



Bundan
Funksiyaning yuqori tartibli hosilasini topish uchun uning barcha oldingi hosilalarini topish kerak bo‘ladi. Biroq, ayrim funksiyalarning  -tartibli hosilalarini bir yo‘topish imkonini beruvchi formulalar mavjud. Masdalan, quyida keltiriladigan formulalar bunday formulalar qatoriga kiradi:
1.  2.
3. 
5.  6. 
7.  8. 
Formulalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz.
3.   ning isboti.

 ...,
Shunday qilib,
.
ning isboti.

…,
Demak,
.
5.   ning isboti.
…,

Shunday qilib,
.
2. Yuqori tartibli differensiallar
Biror intervalda differensiyallanuvchi  funksiyaning  differensiyali birinchi tartibli differensial deyiladi. U holda 

differensialga ikkinchi tartibli differensial deyiladi va
(4)
kabi yoziladi, bu yerda  bilan  ni belgilanadi.
Ikkinchi tartibli differensialdan olingan differensial uchinchi tartibli differensial deyiladi va hokazo. -tartibli differensial deb -tartibli
differensialdan olingan differensialga aytiladi va  kabi yoziladi. 
Misol
funksiya uchun ni topamiz:

Bundan

Bundan  ya’ni  funksiyaning  -tartibli hosilasi funksiya  -tartibli differensialning argument differensialining  -darajasiga nisbatiga teng bo‘lishi kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan formulalar  erkli o‘zgaruvchi bo‘lganda o‘rinli bo‘ladi. Agar  funksiyada  biror erkli o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lsa, yuqori tartibli differesiallar invariantlik xossasiga bo‘ysunmaydi. 
Buni ikkinchi tartibli differensial uchun ko‘rsatamiz. Ko‘paytmaning differensiali formulasiga ko‘ra

ya’ni
(5)
(3) va (4) formulalarni solishtiramiz: murakkab funksiya uchun ikkinchi tartibli differensial o‘zgaradi, ya’ni bunda ikkinchi qo‘shiluvchi  hosil bo‘ladi.
Agar bunda  erkli o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda

va (5) ifoda (4) formulaga o‘tadi.