Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar

Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
 
Birinchi tartibli xosiladan olingan xosila yani
(y’)’=(f’(x))’ yoki Y”=f”(x)
Xosila y=f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli xosilasi deyiladi va y”, f”(x),
Belgilarning biri bilan belgilanadi
Ikkinchi tartibli xosilaning xosilasiga uchunchi tartibli xosila deyiladi va y’,f’”(x), belgilarning biri bilan belgilanadi
Umuman,y=f(x) funksiyaning n-tartibli xosilasi deb, uning (n-1)-tartibli xosilasining xosilasiga aytiladi va u y(n),f(n)(x),
Belgilarning biri bilan belgilanadi.
Yuqori funksiyaning xosilasi argumentning ixtiyoriy qiymatida (aniqlanish soxasiga tegishli) mavjud bo’lsa,u ham funksiyadan iborat ekanligini kordik.
Agar funksiya hosilasi ham xosilaga ega bo’lsa,xosiladan olingan xosilani ikkinchi tartibli xosila deb yuritiladi.
Funksiyaning xosilasini uning birinchi tartibli xosilasi deb qabul qilsak,umumiy xolda quyidagi tarifni berish mumkin.
Tarif: Agar funksiyaning (n-1) tartibli xosilasi differensiallanuvchi bo’sa uning xosilasini funksiyaning n-tartibli xosilasi deyiladi va y(n),,f(n)(x), kabi belgilanadi.
Bu holda funksiya n martda differensiallanuvchi deyiladi.
Demak, tariff bo’yicha y(n)=(y(n-1))’ n=1,2, …
bu yerda funksiyaning nolinchi tartibli xosilasi sifatida uning o’zini qabul qilish tabiydir, yani y(0)=y.
Yuqori tartibli xosilani belgilashda xosila belgisini kerakli martda takrorlash usuli ham qollaniladi.
Masalan, y”-ikkinchi,y”’-uchinchi va hokazo tatibli xosilalardir.
Shuningdek, bazan rim raqamlari ham qollaniladi,masalan yIV-to’rtinchi,yV-beshinchi va xokazo tartibli xosilalardir.
Quyidagi misollarni keltiramiz:
1-misol. F(x)=ekx, k-o’zgarmas (k.
F’(x)=ekx(kx)’=kekx;
F”(x)=(f’(x))’=(kekx)’=k(ekx)’=k.kekx=k2ekx
va hokazo,
F(n)(x)=knekx ni olamiz.
Demak (ekx)(n)=knekx, n
2-misol. F(x)=sinx.
F’(x)=cosx=sin(x+),
F’’(x)=(f’(x))’=(sin(x+’=cos(x+.1=sin(x+)
4-misol. f(x)=cosx
Yuqoridagiga o’xshash,
(cosx)(n)=cos(x+n.), nN
Ni olish mumkin.
5-misol.f(x)=U.V, bu yerda U va V lar ixtiyoriy
Tartibli hosilalari mavjud funksiyadir.
(U.V)’=U’V+UV’
(UV)’ = (U’V+UV)’ = U”V+U’V’+U’V’+UV”=
=U”V+2U’V’+UV” va hokazo.
Endi, yuqori tartibli differensial tushunchasini kiritamiz.Buning uchun funksiya differensialini uning birinchi tartibli differensiali argument
orttirmasini o‘zgarmas deb qabul qilgan holda (n–1) – tartibli differensialning differensialini n-tartibli differensial deb ataymiz va uning uchun dny , dn f(x) kabi belgilashlarni qo‘llaymiz.
Demak, ta’rif bo‘yicha dn y=d(dn-1 y) ekan. Oxirgi formula asosida
d2 y=d(dy)=d[f ’ (x)dx]=(f ”(x)dx)dx=f ”(x)dx2
va hokazo, dn y=f(n)(x)dxn
formulani olamiz.
Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi teoremalar
Bu bandda differensial hisobida nazariy tatbiqlari muhim ahamiyatga ega bo’lgan teoremalarni keltiramiz.
Teorem (Ferma). Agar f(x) funksiya (a;b) oraliqda aniqlangan bo‘lib, x0 (a;b) nuqtada eng kichik yoki eng katta qiymatga erishsa va
shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, f ’(x0)=0 bo‘ladi.
Isbot. Aniqlik uchun Sup f(x)= f(x0) deylik. U holada, x(a;b) f(x)f(x0) o’rinlidir. Endi, x0 nuqtaga x orttirma berib,funksiya orttirmasi y ni olsak,
y=f(x0+x)-f(x0)0
bo’ladi.U holda,
x<0 bo’lganda 0,
x>0 bo’lganda 0,
Oxirgi tengsizliklarda x0 dagi limitga o’tib
f ’(x0) mavjudligini hisobga olsak
f ’(x0)0 va f ’’(x0)0
larni olamiz.Bulardan f ‘(x0)=0 kelib chiqadi.
Mustaqil ishlash uchun misollar:
Berilgan hosilalar uchun y’” ni toping
1) y=(22-1)3
2) y=e2xcosx
3) y= (1+x2)arctgx
y=x3lnx bo’lsa y(4)(3) ni toping
Foydalanilgan adabiyotlar
Kurganov Karim.Ayxodjayevich
Eshkabilov Yusup .Xalbayevich
Kucharov Ramziddin.Ruzimurodovich