Mavzu: Gilbert fazosi va uning xossalari. Gilbert fazolarida Fure qatorlariga yoyish. 1-ta’rif

Parsival tengligi yoki to‘lalik tenglamasi kelib chiqadi.
2-ta’rif. dagi (1) ortonormal sistema yopiq deyiladi, agarda (1) sistema bilan ortogonal funksiyani topib bo‘lmasa.
2-misol. (16)
bu funksiyalar sistemasini da to‘la emasligini ko‘rsating.
Echish. bo‘lsa .
U holda Fure qatori bu qator uchun
, lekin Bu sistema to‘la emas, chunki unda funksiyalar etishmaydi.
3-misol. (17)
funksiyalar sistemasi da to‘la ortonormal funksiyalar sistemasi bo‘ladi.
4-misol. (18)
funksiyalar sistemasi da da to‘la ortonormal funksiyalar sistemasi bo‘ladi.
Skalyar ko‘paytmani keyingi o‘rinlarda foydalaniladigan ayrim xossalarini ko‘rib o‘tamiz.
5-teorema. da lar uchun
(19)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, quyidagi limitiy tenglik bajariladi
. (20)
Isbot. Yuqoridagi tengliklardan quyidagilarni yozish mumkin
(21)

6-teorema. Agar bo‘lsa, u xolda quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi . (22)
7-teorema. Agar da . (23)
8-teorema. to‘plam da zich bo‘lsa va funksiya dagi funksiyalarning barchasiga o‘zaro ortogonal bo‘lsa, , bo‘ladi.
Isbot. dan

Misollar

1. 
   fazoning elementlari shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketliklardan iborat. Bu fazoda skalyar ko’paytma kabi aniqlanadi.
   
2. 
   – fazo, oraliqda kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar fazosi. Bu fazoda skalyar ko’paytma ko’rinishida olinadi.
   
3. 
   Agar Gilbert fazolari bo’lsa, u holda ularning to’g’ri yig’indisi yordamida yangi Gilbert fazosini aniqlash mumkin: .
   

ning elementlari ko’rinishidagi juftliklardan iborat. Bu yerda da skalyar ko’paytma
ko’rinishida kiritiladi