Mavzu: Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar. Reja : Kirish I. Bob. Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar bajarish

1.2.Haqiqiy sonlar va ular ustida amallar bajarish
Haqiqiy son tushunchasini yanada kengaytirish matematika fanini nazariy jihatdan rivojlantirish ehtiyojlari tufayli paydo bo’ldi. Shunday qilib, kompleks son tushunchasi vujudga keldi. Italyan matematigi R. Bombelli taxminan 1560 yillarda yozilgan va 1572 yilda chop etilgan «Algebra» asarida mavhum miqdorlarni kiritib, ular ustida amallar bajarishning oddiy qoidalarini keltirdi va ularni kub tenglamalarning keltirilmaydigan hollarini tekshirishga tatbiq etdi.
Kompleks son tushunchasini yanada rivojlantirishda fransuz olimi Fransua Viyet (1540-1603), ingliz olimi Vallis (1617-1703) va golland matematigi Albert Jirar (1592-1632) katta hissa qo’shdilar. Jumladan, Vallis 1685 yilda yozgan algebra bo’yicha asarida kompleks sonlarni geometrik tasvirlash g’oyasini bayon qilgan bo’lsa, Jirar «Algebrada yangi kashfiyotlar» (1629) asarida tenlamalarning manfiy ildizlarini qaradi hamda tenglamalarning manfiy ildizlariga yo’nalgan kesmalar sifatida geometrik tavsif berdi.
XIX asrda son tushunchasi yana ham umumlashtirilib, kompleks sonning umumlashgan shakli kashf etildi. Bu sonni birinchi bo’lib irland matematigi Uilyam Rouan Gamilton (1805-1865) va nemis matematigi Grassman German Gyunter (1809-1977) bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda kiritdilar. Ular bir necha birlikka ega sonlar sistemalarining xususiy holi sifatida kompleks sonlar nazariyasining formal bayonini berdilar. Gamilton o’zaro quyidagi ko’paytirish jadvali bilan bog’langan to’rtta birlikka ega bo’lgan o’ziga xos sonlar sistemasi (kvarternionlar)ni yaratdi. Uning g’oyasi Grassman g’oyalariga yaqin edi, buning ustida 8 yil ishladi. Lekin Grassmanning bayoni o’zining aniqligi bilan faqat kvaternionlarnigina emas, balki kompleks sonlarning ham tan olinishida muhim rol o’ynadi.
1844 yilda Grassman Gamiltonga bog’liq bo’lmagan holda sonning umumlashgan shakli ko’rinishdagi sonlarni, ya’ni giperkompleks sonlarni o’rganishga kirishdi.
Xulosa qilib, shuni ta’kidlash kerakki, son tushunchasi insoniyat va matematika fani ehtiyojlari tufayli rivojlanib keldi hamda ko’pdan-ko’p matematik nazariyalarning taraqqiyotiga asos bo’lib xizmat qildi. Hozirgi paytda ham sonlar nazariyasi matematikaning mustaqil bo’limi sifatida yangi nazariyalarga asos yaratmoqda, shu bilan turli yo’nalishlar tatbiqlarida tobora kengroq qo’llanilmoqda.
Butun nоmanfiy sоnlar. a va b natural sоnlar va a  b  c yig‘indi b еrilgan bo‘lsin. Bu yig‘indi uchun 1) c  a va c  b ; 2) har bir qo‘shiluvchi, yig‘indi bilan ikkinchi qo‘shiluvchi оrasidagi ayirmaga tеng, ya’ni b  c  a va a  c  b
«0» sоni bo‘sh to‘lpamlar sinfining хaraktеristikasi sifatida kiritilgan bo‘lib

• 
  a » natural sоn esa bo‘shmas to‘lpamlar sinfining хaraktеristikasi bo‘lganligi uchun a  0  a ekanligini tushunish qiyin emas. Yigindida birоr qo‘shiluvchini tоpish qоidasini qo‘shiluvchilardan biri n оl bo‘lgan h оlda qarab, 0  a  a ni hоsil qilamiz. Shunday qilib, «0» sоnini ikkita tеng sоnning ayirmasi dеb qarash mumkin.
  

Nоl sоnini natural sоnlar to‘plamiga qo‘shib, butun n оmanfiy sоnlar to‘plami
dеb ataladigan yangi sоnli to‘plam h оsil qilamiz. Bu kеngaytirilgan to‘plam Z₀ bilan bеlgilanadi va quyidagicha yoziladi
Z₀  {0,1,2,3,4,..., n,...}
Nоl sоni bilan amallar bajarish qоidalarini, ushbu tеngliklar ko‘rinishida
yozish mumkin: a + 0 = a (ta’rifga ko‘ra), 0  a  a ;
a - 0 = a ; a × 0 = 0 , 0 × a = 0
agar a ¹ 0 bo‘lsa, 0 : a = 0
Nоlga bo‘lishni al оhida qaraymiz. Nоldan farqli a sоn bеrilgan bo‘lsin, ya’ni