Mavzu: Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar nazariyasi taqqoslash teoremasi. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida teorema

Teorema. (5) differensial tenglamaning (3) umumiy chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi bitta va faqat bitta bo‘lishi uchun, (1) differensial tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi faqat trivial bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala.

(10)
(11)
Ushbu differensial tenglamani
L(y) = f(x)y" + д(х)у' + h(x)y = d(x)
Quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinadi.
ау(а)+13у'(а)=А}
}
Aytaylik, funksiyalar (10) tenglamaning mos chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlar sistemasi, funksiya esa (10) tenglamaning biror xususiy yechimi bo‘lsin. Unda dastlabgi tenglamaning umumiy yechimi quyidagi formula orqali ifodalanadi:
(12)
Endi (12) umumiy yechim ifodasini (11) ga qo‘yamiz, keyin oldidagi koeffitsientlarni guruhlaymiz, natija quyidagicha bo‘ladi:
[ ] [ ]
С1[УУ1(Ь) + <5у1(Ь)] + c₂[yy₂(b) + Sy₂(b)] = В - yy(b) + <5y(b)
Bu algebraik sistema yagona yechimga ega bo‘ladi, agar

Д=
ау1(а) +/?У1(а)ау₂(а) +^у₂(а)
УУ1(Ь) + <5yi(b)yy₂(b) + <5у₂(Ь)

5. 
   Misol. Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalani yeching.
   

у" + у = 4sinx, у(О) = у(1) = О
Yechilishi: Berilgan bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi
у = c₁ cos х + с₂ sin х — 2х cos х .
Chegaraviy shartlarni da ; da umumiy yechim formulasiga qo‘yamiz.
с₁ cos 0 + с₂ sin 0 = 0 i _ с₁ = 0 1
} }
Ixtiyoriy o‘zgarmaslarning qiymatlarini hisobga olib, chegaraviy masala yechimini yagona tarzda topamiz.
у = 2ctgl sin х — 2х cos х

6. 
   Misol. tenglamaning , shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini izlaymiz.
   

Yechilishi: Berilgan Eyler tenglamasi deymiz, unda
dy__ _tdy_ d^y_ __2t (d^{* 2}y dy\
dx ⁶ dt ’ dx^{2 6 (}dt² dt⁾
bo‘ladi. Bularni dastlabgi tenglamaga qo‘yib ixchamlaymiz va quyidagini hosil qilamiz:



d²y dy
dt² dt

+ 2y = e^3t

o‘zgarmas koeffisientli chiziqli tenglama. Bir jinsli tenglamaning xarakteristik ko‘phadi
Р(Л) = Л² - ЗЛ + 1 = 0, Р(Л) = 0
ildizlari , umumiy yechim
y(t) = c₁e^t + c₂e^2t
Endi tenglamaning xuxusiy yechimini izlaymiz: bunda ,
. Demak, noma'lum son.
y(t),y(t) = 3Ae^3t,\|/"(t) = 9Ae^3t
Ifodalarni tenglamaga qo‘yamiz va ga qisqartirib quyidagilarni hosil qilamiz: 9A — 9A + 2A = 1 >A=-^ > V ( t) = | e^3t — xususiy yechim.
у (t) = c₁e^t + c₂e^{2 t} + |e^{3 t} — berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi:
1
y(t) = c_xx + c₂x² + - X³
Bundan
³ ?
у (t) = c_x + 2c₂x + —x .
va larga , keyin ni qo‘ysak, ,
1 , 3
y(l) = c_x + c₂ + - , у (1) = Q + 2c₂ + -
Bu qiymatlarni qo‘yilgan chegaraviy shartlarga qo‘ysak, bo‘ladi:

Shunday qilib izlanayotgan yechim
у = —x — lx² + —x³
2 2

(1)
(2)
Grin funksiyasi
(1), (2) chgaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, uzluksiz shunday
funksiyaga aytiladiki, ushbu shartlar bajarilsa,

1. 
   ‘
   

(3)
tenglamani qanoatlantiradi;

2. 
   x = avax = b da G (x,s) funksiya (2) - chi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
   
3. 
   
   
   
   chekli
   
   (4)
   da bo‘yicha uzluksiz uning xosilasi nuqtada
   

1 uzulishga ega bo‘lsin ya'ni uning sakrashi,^^
G(s + 0,5) = G(s — 0,5), Gx(s + 0,5) — Gx(s — 0,5) =
(IQS)
Chegaraviy masalaga mos kelgan Grin funksiyasini aniqlash uchun, oldin bir jinsli (3) tenglamaning ikkita chiziqli erkli (trivialmas) yechimini topish kerak. Ular mos ravishda 1 - chi va 2 - chi chegaraviy (2) shartlarni qanoatlantirishi kerak. U vaqtda Grin funksiyasi movjud bo‘ladi va uni
rr = pp^yitxl.a < X < 5,
{
shakilda izlash mumkin, lar ning funksiyalari bo‘lib, ularni (4) xossadan
foydalanib topamiz. Ushbu algebraic sestemadan
f <рО)У1(*) - ^(ЮУгО) = 0
^{ P ⁽s⁾ y ) ⁽ x) + p ⁽s⁾ y₂⁽ x⁾ = —-
I ¹ a(5)
Grin funksiyasi mavjud bo‘lganda y (x) = G(x, s) f (s)ds formula (1), (2) chegaraviy
masala yechimi bo‘ladi.
_{f л f} J У2 (*)/(*) _л , f yi(s)/(s) _A
^y(x) = ^yi(x) J W(s) " ^(x) J W(s) ^ds
x a
1-Misol. Grin funksiyasini tuzing:
y” = f(x), y(0) = 0, y(l) = 0
Yechilishi: tenglamaning umumiy yechimi Birinchi
shartdan , demak Ikkinchi shartdan
diylik, ; . va chegaraviy
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlar chiziqli erkli ekanligini Vronskiy determinanti orqali ko‘rsatamiz. Haqiqatan
| | .
Demak, Grin funksiyasini ushbu shaklda izlash kerak
ГГ A₌f^X<P(^S)' 0
{
Bunda hozircha noma'lum. Ular ushbu tengliklarni qanoatlantirishi kerak



(5 - l)l/>(s) = 5

}

(5 — i)V4⁵) = ^5
5) ^{— 5}


Bundan , demak
f(s-l)x, О < x < s,
{
С$(х — 1), 5 < X < 1
2-Misol. Grin funksiyasini tuzing bunday qo‘yilgan chegaraviy masala uchun chegaralangan bo‘lsin barcha larda
Yechilishi: tenglamaning xususiy yechimlari va , chiziqli erkli, umumiy yechimi
Birinchi xususiy yechim chegaralangan bo‘ladi da, ikkinchisi agar
. Grin funksiyasini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz
{
{
Bu yerda funksiyalarni shunday tanlab olamizki
1
G(s + O,s) = G(s — 0,5), G_x(s + 0,5) — G_x(s — 0,5) = ——
Tengliklar bajarilsin, bizda oldidagi koefsent.
( ip(s)e~^s =
^s,
^{
Bundan p (5 ) = — -e ^s , p(5 ) = — -e^s.


— да < x < 5 s < x < +00

III. XULOSA.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, ikkinchi tartibli bir jinslitenglamaning umumiy ko'rinishi
у" + Pi(^x) у' + P2^(x) у = ^{0 (1)}
tenglamaning bitta y₁( x) xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, uning umumiy yechimi



г rf Pi^(x)dx
f ' dx + c₂

y₁²

ва P₂(x) lar ko'rilayotgan oraliqda
formula bilan aniqlanar ekan. Bunda P₁( x)
uzluksiz funksiyalardir.


(2)
^d f p^{( x) dy} V q^{( x)} у =⁰

KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y¹”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ ^f I 5
= e = e^{ln x} = x 5
к ^a ) 5
^J p^(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
^xk = ^xk+1 ^{- x}k = = - 9
Shturm teoremasi 11
^P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
^f ' dx + c₂ 22
^d f p^{( x) dy} V q^{( x)} у =⁰ 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24

bundan kurinadikim, o'ziga qo'shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent у" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1 Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio'zigaqo'shmabo'lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
^P0^(x) y"+^P1^(x) У'+^P2^(x) У = ⁰ (3) differensial tenglama berilgan bo'lsin. Pq(x) Ф 0kelib chiqadi.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio'zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt
У" + ^Q(t) У = ⁰
Ko'rinishga keltirish mumkin.
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z ” +1 (x) z = 0
ko'rinishga keltirish mumkin.

IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1. 
   СалохиддиновМ.С. НасриддиновГ.Н. Оддийдифференциалтенгламалар. Тошкент,”Узбекистон”,1994.
   
2. 
   Понтрягин Л.С. Обыкновенние дифферциальные уравнения. М.Наука, 1969.
   
3. 
   Степанов В.В.Курс диффренциалных уравнений. М. Гиз.Физ-мат. литература.1958
   
4. 
   Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление. М. Наука. 1965.
   
5. 
   Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. наука, 1979 (5 - еиздание).
   

6.Internet tarmog'idan: www.ziyonet.uz

1a(x)y" + b(x)y’ + c(x)y = /(x),xe[a, b]

2ay (a) + fly'(a) = O,yy(b) + dy'(b) = 0