Mavzu: Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar nazariyasi taqqoslash teoremasi. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida teorema


Download 71.86 Kb.
bet2/5
Sana18.06.2023
Hajmi71.86 Kb.
#1581029
1   2   3   4   5
Bog'liq
Asosiy qism

II. ASOSIY QISM.
"Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslach teoremasi.Chegaraviy
masalalar. Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material

Ma'lumki ikkinchi tartibli bir jinsli
y" + P1(x) y' + P2(x) y = 0 (1)
tenglamaning bitta y1( x) xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, uning umumiy yechimi





У = У1

j c1£-j pi( x)dx

y12

dx + C2




formula bilan aniqlanar edi. Bunda P1(x) ва P2(x) lar ko'rilayotgan oraliqda uzluksiz
funksiyalardir.

KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y1”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ f I 5
= e = eln x = x 5
к a ) 5
J p(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
xk = xk+1 - xk = = - 9
Shturm teoremasi 11
P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
f ' dx + c2 22
d f p( x) dy V q( x) у =0 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24

bundan kurinadikim, o'ziga qo'shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1 Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio'zigaqo'shmabo'lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
P0(x) У"+р1(х) У'+P2(x) У = 0 (3)
differensial tenglama berilgan bo'lsin. Po(x) Ф 0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini p(x) ga ko'paytirganda,yo'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga aylansin, ya'ni quyidagi shart bajarilsin.
(PP0) ' = PP1
Bundan p'Pp - pP{} = p, p' P0 = p (P1 - P0)
dP = pL-pi dx = - P0^x> dx+P(x) dx
p р0 р0( x) р0( x)
integrallasak


bunda


ln p = — ln Po + IPX') dx + C, C = 0 o Po(x)
, pS»* ц = _L_e po<x)
P>( x)
fP1( x)
1 J
P° (x) e
°( Po(x)
P^ dx


d_ f I
dx


P0(x)


dx i | dx
y" + Pl(x)-^e ''
P0(x)
, \ I—dx
+ W eJ Px) y = о
Po( x) Л


P ( x ) dx
+ш e '' y=о
P0(x)


к
ax j
Po( x) d
y dx I
)
Idx p(x) = e Po(x)


(6)


| S™. dx q(x)=Pxe Po(x)
Po( x)
deb olsak (2) tenglamaga ega bo'lamiz (6) dan ko'rinadikim
p(x) > 0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga keltiring.
x2 y” + xy' + (x2 n2) y = 0
Bu yerda po (x) = x2 p1(x) = x p2 (x) = x2 - n2
J PL(x) dx p(x) = e Po(x) = e x
: dx
po(x)


P2(x)


\^Xdx


dx
= e = eln x = x


q( x) = e
p0(x)
c


2 2 2
x
- n n
- x = x x2 x


d fxdy dx к dx )


x— I + x y = 0


к a )
Bu Bessel tenglamasiga qo'shma bo'lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio'zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt y""+Q(t)y =o
Ko'rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t) g C(I) I = (a; b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o'ziga qo'shma xolga keltirilgan bo'lsin. d к p( x) d V q( x) y = 0 dx к dx )


(8)


(9)


Bunda


dx
t = I
J p(x)


Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan



p(x) Ф 0, p(x) > 0bo'lgani uchun




dt
dx

1
P
( x)

> 0ga ega bo'lamiz.



Bundan t o'zgaruvchi ning monotan o'suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi.
Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
interavalda aniqlanadi.
dy dy dt 1 dy
desak— = = bajariladi.
dx dt dx p( x) dt
U xolda d(p^] = ^[p(x)'d 'd ' d&] (11)
dx dx) dt p(x) dt) dx p(x) dt dt)
(11) ga asosan (9) \ — | + q( x) y = 0 (10)ni e'tiborga olsak keyingi tenglamani
p(x) dt dt)
d2y
+ Q(t) y = 0
dt2
ko'rinishda yoza olamiz.
Bunda Q(t) = p(p(t ))q(^(t))
Misol-2 xy" + i y’ - y = 0





















dx
р = 1 £ 1x
x


1 1ln(x)
= — e1

1 1
Off1 Or
X
2 yX 2 y - X
2

dx

1 A
x
2 dy dx
к 7

-x

2 - У = 0 ^1,2 = i1
dt2 1,2
-t . t -2y[x, -Hx
y — C1e + C2e — C1e + C2e
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z” +1 (x) z = 0

ko'rinishga keltirish mumkin.
y"
+ p( x) y' + q(x) y = 0 (12)

tenglamada y = u(x) z

(13)

almashtirishni olamiz. Bundan
y
= uzu z y = uz ■ 2u zu z

Bu qiymatlarni (12) ga qo'ysak
uz"
+ 2u z ' + u" z + p( x)(uz' + u' z) + q(x}uz = 0

uz(2up(x)u) z(up(x)uq(x)u)z = 0

(14)

z" ■ | ■ p(x) |z' + — (u" + p(x)u' + q(x)u)z = 0
к u 7 u

u( x) ixtiyoriyfunksiyabo'lganiuchununishundaytanlabolamizkim

2u
p(x) = 0
u

bajarilsin.

du
u

u =e 2

bundan

i — J p(x)dx
u' = -—p(x)e 1




1 P( x)dx


1 1

  1. x 2 = x~ 2

2
-1J p( x)dx 1 о -1J P( x)dx
1 2 + —p2(x)e 2
Bu qiymatlarni (14) ga qo'ysak
1 j p( x)dx
z” + e 2
i -1 J p(x)dx i , -1 J P(x)dx C i A -1 J p(x)dx -1 J p(x)dx
1 p’(x)e 2' +1 p2(x)e 2' + p(x{-1 p(x)\e 2 + q(x)e 2J


z " +1 (x) z = 0
z" + (q( x) -1 p'(x) -1 p2 (x))z i = q( x) -1 p'(x) -1 p2( x)
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi.
c
Agar invariant o'zgarmas songa yoki I = ko'rinishga ega bo'lsa u holda ikkinchi
(x + a)1
tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o'zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.









y"

q(x) = 1;

I=2

p( x) = - x
I" 7> 1111
Л,2 = '7

1 4=1
x
2 x2
z = qcos x + C2sin x

-1J 2 dx
u=e 2 x

= e~ln x = 1
x

y = uz = 1(c1cosx + c2sin x)
x 1 2
Misol-3 xy" + 2 y' + xy = 0


Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi
yechimlari. Taqqoslash teoremasi

Koeffisiyentlari o'zgarmas bo'lgan, ikkita ikkinchi tartibli y"- a2 y = 0 (1)
y" + a2y = 0 (2)
differensial tenglamalar berilgan bo'lsin.
Bunda a = cos t
Ma'lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y1 = e-ax, y2 = eax dan iborat bo'lib
Uning umumiy yechimi y = C1eax + C2eax dan iborat.
Uning nolini topamiz

-ax . ax n
су + C2e = 0
a > 0 c— < 0



2ax
C
l + C2e = 0


g2ax _ c1
c2


2ax = ln - 1
c2


1 c1
x = — ln —1 2a


1


2


(-, ) da bittadan ortiq nolga ega emas.


ya'ni (1) tenglamaning yechimi
(1) tenglamaning umumiy yechimi y
= qcosax + 2 sin ax = Asin(ax + p) ning nolini topamiz:
A sin(ax + p) = 0 axk + p = nk
nk p n(k +1) nk n
xk = xk+1 - xk = = -
a a a a a
ya'ni (2) tenglama (-<», ) oraliqdacheksizko'pnollargaegabo'lib,
n
ketikkitanolorasidagamasofa — gateng.
a


ketma-


n
Uzunligi dankattabo'lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechimmmgbittanoliyetadi, a
2n
uzunligi — dankattabo'lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a

Download 71.86 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling