Mavzu: «Integral va uning xossalari» mavzusini o’qitish usullari

Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masala. [a,b] kesmada y=f(x) uzluksiz funksiya berilgan bo`lsin. Berilgan y=f(x) funksiya grafigi, abssissa o`qi, x=a va x=b vertikal to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan aABb tekis figura egri chiziqli tra’etsiya deyiladi. Shu egri chiziqli tra’etsiya yuzini to’amiz. Buning uchun y=f(x) funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mos ravishda M va m bilan belgilaymiz. [a;b] kesmani x_i= nuqtalar bilan n ta kesmachalarga ajratamiz, bunda x₀₁₂<. . ._n deb hisoblaymiz va x₁-x₀=x₁,...,x₂-x₁=x₂, x_n-x_n-1=x_n deb faraz qilamiz, so`ngra f(x) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini
[x<sub>0</sub>;x<sub>1</sub>] kesmada m<sub>1</sub> va M<sub>1</sub> bilan
[x<sub>1</sub>;x<sub>2</sub>] kesmada m<sub>2</sub> va M<sub>2</sub> bilan
…………………………… 31-chizma
[x<sub>n-1</sub>;x<sub>n</sub>] kesmada m<sub>n</sub> va M<sub>n</sub> bilan belgilaymiz. (74-chizma)
Endi quyidagi yig`indilarni tuzamiz: 74-chizma
= m₁x₁+ m₂x₂+. . .+ m_nx_n=
= M₁x₁+ M₂x₂+. . .+ M_nx_n=
Bu yig`indilar integral yig`indi deyilib, mos ravishda ichki va tashqi chizilgan zina’oyasimon shaklni siniq chiziq bilan chegaralangan yuziga teng bo`ladi. Bundan esa tengsizlik o`rinli bo`ladi. Agar [a;b] kesmalarni yana ham kichiklashtirib bo`laklarga ajratsak, n yetarlik darajada bo`lganda va lar bir-biridan kam farq qiladi va egri chiziqli tra’etsiyaning yuzini aniqlaydi.