Mavzu. Integrallarni taqribiy hisoblashda Nyuton-Kotes formulalari. G‘oyasi va hatolik tartibi


Download 128.77 Kb.
bet1/2
Sana04.04.2023
Hajmi128.77 Kb.
#1327764
  1   2
Bog'liq
17-mustaqil ishi



Mavzu. Integrallarni taqribiy hisoblashda Nyuton-Kotes formulalari. G‘oyasi va hatolik tartibi




REJA:

  1. Aniq integralni taqribiy hisoblash tushunchasi

  2. Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

  3. Aniq integralni hisoblash algoritmi va dasturlari. Aniqlikni baholash



Tayanch tushunchalar: Taqribiy integrallash formulalari, Nyuton - Kotes formulalari va ularning qoldiqlari, Trapetsiya formulasi, Simpson formulasi


Aniq integralni taqribiy hisoblash


Quyidagi



b
I f   f xdx
a

aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu erda


a, b oraliqda uzluksiz.
f x

(1)



funksiya

Berilgan funksiyani a, b oralig’ini n ta uzunligi
h b a
n
ga teng bo’lgan

x0, x1,x1, x2 ,.....,xn1, xn kesmalarga ajratamiz.

Agar tugunlarda belgilasak
f x
ning qiymatini
yi
f xi  i  0,1,2,..., n
kabi

b

   


y0
yn




I f f
a
x dx h
2
y1 y2  ......  yn1 2
(2)





hosil qilmiz. Ushbu (2) formula umumiy trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu
formula geometrik nuqtai-nazardan integral ostidagi y f x funktsiyaning
grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan iboratdir.

Faraz qilaylik
n  2m
juft son bo’lsin. a, b
integrallash oralig’ini n ta

uzunligi
h b a b a
ga teng bo’lgan x , x ,x , x
,.....,x , x
kesmalarga

n 2m
0 1 1 2
n1 n

ajratamiz. Berilgan funksiyani har bir kesmasini parabolik funksiya bilan almashtirsak
b h


3
I f f xdx y0 y2m 4y1 y3 y2m1
a
2y2 y4 ...... y2m2
bo’ladi. Keltirilgan (3) formula Simpson (parabolalar) formulasi deyiladi.

(3)


Ushbu keltirilgan (3) formula geometrik nuqtai-nazardan integral ostidagi

y f x
funktsiyaning grafigini har bir oraliqda parabolalar bilan

almashtirishdan iboratdir.

Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari





h
Nyuton-Kotes formulalari J NK ( f ) .
J ( f )  int( f , a,b)) integralni hisoblash uchun Lagranj interpolyatsion ko’phadi

formulasidan foydalanamiz:



h n
J NK ( f )  J (L ( f ; x)) 


b

b
Ln ( f ; x)dx a


n n


f (xi )li (x)dx f (xi ) pi
(1)

bu yerda
a





b
p l (x)dx
i0
b x xj dx

i0

(2)


i a i
a ji xi xj

    1. formula

xi1 - xi h , hol uchun Nyuton - Kotes formulasi deyiladi, (2) Nyuton -

Kotes koeffitsientlari deyiladi. (2) da x x th almashtirishni bajarsak
dx hdt, x t, a  0,b n, h  (b - a)/ n va

p b a n (1)ni t(t 1)...(t n) dt

(3)


i n 0
i!(n i)!(t i)


ko’rinishni hosil qilamiz. (3) ni hosil qilishda
x - xj  (t - j)h, xi - xj
 (i - j)h


tengliklardan foydalandik.

To’g’ri to’rtburchaklar formulasi





h
J TT ( f ) .

Kvadratura formulasi (integral yig’indi)
b n

J ( f )  a
f (x)dx
pif(i )
i=0
(4)

da i xi h / 2,
pi h,
i  0, 1, ..., n 1
deb ushbu markaziy to’g’ri to’rtburchaklar

formulasi
J TT ( f )
ga kelamiz:




h
n1 n1

h i i 0.5
J TT ( f )  h f (x h / 2) h f .
i0 i0
Markaziy to’g’ri to’rtburchaklar formulasida egri chiziqli trapetsiya yuzi chizmada

ko’rsatilgan asoslari h va
f (xi h / 2)
ga teng to’g’ri to’rtburchak yuzalarining

yig’indisi JhTT(f) ga almashtirilmoqda.

h
Trapetsiya formulasi JT ( f ) .
Kvadratura formulasidai xi , p0 pn h / 2, pi h,i  1,..., n 1deb olamiz





n1
JT ( f ) 
fi fi1 h h {f +2(f +...+f )+f }
(5)

h
i0
2 2 0 1 n-1 n

  1. formula trapetsiya formulasi deyiladi. Trapetsiya formulasida egri chiziqli trapetsiya yuzi chizmada ko’rsatilgan asoslari fi, fi+1, h balandlikka ega trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi JhT(f) bilan almashtirilmoqda.


h
Simpson formulasi JC ( f ) .

J ( f )
integralni taqribiy hisoblash uchun {(xi , f (xi )), i  0,1,..., 2n} jadval olib

xar bir [x2i , x2i2 ] {i  0,1,..., 2n - 2 } kesmada Nyutonning ikkinchi darajali ko’pxadini

quramiz. Bu funktsiyalar
[x0 ; x2n ]
kesmada uzluksiz ikkinchi darajali (parabolik)

interpolyatsiya splayni S( f , x) ni tashqil qiladi.

f (x2i ) (x - x2i ) f [x2i , x2i1]

S ( f , x)  (x - x )(x - x ) f [x , x , x ]
(6)

2i
2i1 2i 2i1 2i2

x x x
, i  0.1,..., n -1


h
 2i
2i 2

so’ng
J ( f )  J (S)  JC ( f )
deb qabul qilamiz va
JC ( f )
ni Simpson formulasi deb


h
ataymiz. Ravshanki,
C


n1


x2i2
h n1

Jh ( f ) 
i0


x2 i
L2,i ( f ; x)dx
[ f2i 4 f2i1 f2i2 ]

3
i0

h { f  4( f ...  f )  2( f ...  f )  f }
3 0 1 2m1 2 2m2 2m



Oraliq natija quyidagicha yaratiladi. interpolyatsiya ko’phadini integrallaymiz.
[x0 , x2 ]
kesmada Nyutonning 2-darajali

Lemma 1. Ushbu sodda Simpson formulasi o’rinli:


x2
2 0 1 2 h 2
N (x)dx h( f  4 f f ) / 3  J C (N ).
x0

Isbot.
a0 f0 , a1 f [x0 , x1], a2 f [x0 , x1, x2 ] deb quyidagilarni olamiz:

x2 x2
2
0 1 0 2 0 1 0 1 2

N (x)dx  (a

0 1 2 h 2
x0 x0

  • a (x x )  a (x x )(x x )dx  2ha

 2a h2  2a h3 / 3


2
 2hf0  2h
3

h

2
( f1 f0 ) / h  2 3 ( f0  2 f1 f2 ) / 2h
h( f  4 f f ) / 3  J C (N ).

Lemma 2.
rC ( f )  f (x)  JC ( f )
desak
rC (x )  0, 0,1, 2,3 .


h h

h
Isbot.  0,1, 2 hollar ravshan,  3 hol elementar ko’rsatiladi:

1 (x

  • x )

x x 1
(x2x2 ) 3

rC (x3) 
(x4x4)  2 0 [x3  4( 0 2 )3x3] 
(x4x4)  2 0 [x2x2]  0

h 4 2 0 6 0 2
2 4 2 0
6 2 0 2

Download 128.77 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling