Mavzu: Irratsional ifodalarni integrallash reja

Mavzu: Irratsional ifodalarni integrallash

REJA:

• Irratsional ifodalar haqida umumiy tusghuncha
• Irratsional funksiyalarni integrallash
• Irratsional funksiyalarni integrallashda trigonometrik almashtirishlar
• Irratsional ifodalarni integrallashga oid misol va masalalar

Irratsional ifodalarni o'z ichiga olgan ma'lum turdagi

integrallarni tegishli almashtirishni amalga oshirish

orqali ratsional funktsiyalarning integrallariga

keltirish mumkin. Integralning bunday o'zgarishlari uning ratsionalizatsiyasi deyiladi.

Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr ko’rsatkichli darajalari ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo’lsa, u irratsional funksiya deb ataladi. Masalan:

, , lar irratsional funksiyalardir.

Har qanday irratsional funksiyadan olingan aniqmas integral elementar funksiyalarda ifodalanmasligi mumkin.

 

dx integral binomial integral deb ataladi. Bu yerda r,s,p-ratsional va a,b-haqiqiy sonlardan iborat. Agar r,s,p sonlarning uchalasi ham butun son bo’sa, unda integral ostida ratsional funksiya bo’ladi va bu holda, binomial integral elementar funkisiyalarda ifodalanadi. Agar r,s,p sonlardan kamida bittasi butun son bo’lmasa, u holda integral ostida irratsional funksiya hosil bo’ladi. Bunda binomial integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi mumkin.

1) p –butun son. Bu holda, , almashtirish qilinadi. Bu yerda m integral ostidagi r va s sonlarining umumiy maxraji. Agar , deb olsak, unda =, , bo’ladi va binomial integral

 

ko’rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.

2) butun son. Bu holda bo’lsa, unda almashtirishdan foydalaniladi.

Navbatda integralni qaraymiz. Aytaylik, soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin. , almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya t ning ratsional funksiyasidan iboart bo’ladi.

Ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral

 

almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda k soni kasrlarning umumiy maxraji.

Ba’zi hollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.

.

Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. U holda,

+ bo’ladi. Bundan ni ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.

 

Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib, bo’lib u ning ratsional funksiyasi bo’ladi.

II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,

almashtirish qilamiz. (aniqlik uchun oldidagi ishorani olamiz). U holda ()2=()2, Bundan ni ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.

 

. Shunday qilib,

va lar orqali ratsional ifodalangani uchun

x, dx va

larning t orqali ifodalarini berilgan integralga qo’yib t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga kelamiz.

 

Ba’zi bir irratsional funksiyalarni trigonometrik almashtirishlar yordamida ham hisoblash mumkin.

integralni qaraymiz.

Bu yerda ao va 0 deb olamiz. Ildiz ostidagi uchhadning ko’rinishini o’zgartiramiz.

=a2+, deb olsak, bo’ladi va tenglik hosil bo’ladi.

 

Bu yerda ni va larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin. Ularning qiymatlariga qarab, ba’zi bir belgilashlardan so’ng berilgan integral quyidagi integrallardan biriga keltiriladi.

I. ,

,

III. .

Bunda I-integral t= tgz almashtirish orqali, II-integral almashtirish orqali, III-integral almashtirish orqali

integralni hisoblashga keltiriladi.

 

 

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT !