Mavzu: Kantor to’plami Reja Kirish. Asosiy qism

Mavzu: Kantor to’plami
Reja

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Asosiy qism.
   

• 
  Sanoqsiz to ‘plamlar.
  
• 
  Haqiqiy sonlar to ‘plamining sanoqsizligi.
  
• 
  Kantor to’plami.
  
• 
  Kantor-Bernshteyn teoremasi.
  

3. 
   Xulosa.
   
4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar.
   

Kirish
Funksional analiz - matematik analiz, geometriya va chiziqli algebraning g`oya va usullarini cheksiz o’lchamli fazolar uchun umumlashtiruvchi fan hisob lanadi. Hozirgi kunda funksional analizning g`oya, konsepsiya, usul va tushunchalari matematikaning barcha sohalari tomonidan tan olingan. So`nggi yillarda

differensial tenglamalar, hisoblash usullari, matematik dasturlashning talab va ehtiyojlariga javoban funksional analizning yangi chiziqli bo`lmagan tarmog`i paydo bo`ldi. Zamonaviy matematikaning bu yo`nalishi amaliyotchi lar va muhandislarning o`sib kelayotgan ehtiyojlarining bir qismini qondiradi. Funksional analiz fani XX asrning boshlarida matematik analiz, algebra, geometriya fanlaridagi tushuncha va metodlarni umumlashtirish natijasida paydo bo‘lib, hozirgi zamon matematikasining eng ahamiyatli bo‘limlarining biri hisoblanadi.
_{Ushbu kurs ishi kirish, asosiy qism, paragrif, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.}
Funksional analiz fanidan Sanoqsiz to‘plamlar,Haqiqiy sonlar
to‘plamining sanoqsizligi,Kantor-Bernshteyn teoremasiga duch kelamiz.
Ta’rif. segmentdagi nuqtalar to‘plamiga ekvivalent bo’lgan
to’plamlarni kontinuum quvvatli to’plamlar deyiladi.
Tabiiyki albatta kontinuum quvvatga ega bo ‘lgan harqanday to ‘plam sanoqsiz
to‘plamdir .
Endi kontinuum quvvatli to’plamlar haqida bir nechta teoremalar
ko’rib chiqamiz.
Teorema2. Har qanday segmentdagi nuqtalar to ‘plami kontinuum quvvatli
to’plamdir.
Teorema1: segmentning nuqtalaridan iborat to ‘plam sanoqsizdir.
Natija . Har qanday yoki yarim oraliqlar va oraliqdagi nuqtalar to’plami Kontinum quvvatga ega .

Sanoqsiz to‘plamlar.

To‘g‘ri chiziq nuqtalaridan iborat to‘plam natural sonlar to‘plami kabi ko ‘p uchrab turadigan cheksiz to ‘plamlar jumlasindandir.Shunisi taajjubliki ,to ‘g ‘ri chiziqnuqtalar to ‘plami natural sonlar to ‘plamiga ekvivalent emas ,ya’ni to ‘g ‘ri chiziq nuqtalarini nomerlab chiqish mumkin emas .
Bu quydagi teoremada isbotlanadi.
Teorema1: segmentning nuqtalaridan iborat to‘plam sanoqsizdir.
Bu teorema to ‘plamlarni solishtirish usullarining ikkinchisi birinchisidan qulayroq ekanligini ko ‘rsatadi.Biz quyda bu teoremaning ikki vil isbotini qaraymiz
Birinchi isbot. segmentning nuqtalaridan iborat to ‘plam sanoqli deb faraz qilaylik. U holda ning barcha elementlarini nomerlab chiqish mumkin:
(1)
ni va nuqtalar bilan uchta teng segmentga bo ‘lamiz:
, ,
Ravshanki element bir vaqtda bu uchala segmentning har biriga tegishli bo ‘la olmaydi ,demak ,ularning kamida bittasiga kirmaydi.O‘sha segmentni bilan belgilaymiz (agar bunday segmentdan ikkita bo ‘lsa ,ularning chaproqdagisini bilan belgilaymiz 1-shakl). Endi segmentni uchta teng segmentga bo ‘lamiz Bu segmentlarning kamida bittasiga nuqta kirmaydi;o ‘sha segmentni bilan belgilaymiz (agar bunday segmentdan ikkita bo ‘lsa ,ularning chaproqdagisini bilan belgilaymiz).
segmentni o ‘z navbatida yana teng uchta segmentga bo ‘lamiz ; bularning orasida nuqta kirmagani (ikkita bo ‘lsa, chaproqdagisini) bilan belgilaymiz va hokazo.
Natijada biri ikkinchisining ichiga joylashgan


1-shakl
Segmentlar ketma-ketligiga ega bo ‘lamiz.Bu to ‘plamlarning yasalishiga ko ‘ra nuqta segmentga kirmaydi. segmentning uzunligi bo ‘lib , ortganda olga intiladi.Limitlar nazariyasidagi ma’lum teoremaga asosan, segmentlarning barchasiga kiruvchi birgina y nuqta mavjud.
Bu nuqta to ‘plamga tegishli bo ‘lgani uchun (1) ketma-ketlikda uchraydi,ya’ni shunday topiladiki bu uchun
bo‘ladi.Ikkinchi tomondan

Munosabatlardan kelib chiqadi.Bu qarama –qarshilik teoremani isbotlaydi.
Ikkinchi isbot. segmentdagi nuqtalar to ‘plami sanoqli bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda bu to ‘plamning elementlarini natural sonlar bilan nomerlan=b chiqish mumkin .Nomerlash natijasini (1) ketma-ketlik shaklida yozamiz.Farazimizga muvofiq va segmentning har bir elementi (1) ketma ketlikda bo ‘ladi.(1) ketma-ketlikdagi har bir sonni cheksiz o ‘nli kasr
ko‘rinishida yozamiz.



………………………

……………………….
Ma’lumki ,har bir haqiqiy son yagona usul bilan cheksiz o ‘nli kasrga yoyiladi.Endi segmentda yotuvchi va (1) ketma –ketlikka kirmaydigan biror sonni topa olsak, u holda segmentdagi sonlar
to ‘plamining sanoqsizligini isbot etgan bo ‘lamiz . sifatida

Cheksiz o ‘nli kasrlarni olib ,bu kasr (1) ketma-ketlikda uchraydi deb faraz qilaylik.Bu holda son (1) ketma-ketlikdagi biror songa teng,ya’ni bo ‘lishi kerak .Ammo bu tenglikning bajarilishi mumkin emas ,chunki .Boshqacha aytganda , bu natija qilgan farazimizga zid . demak segmentdagi sonlar to’ plami sanoqsiz to’plam ekan.
Haqiqiy sonlar to ‘plamining sanoqsizligi.
Ta’rif. segmentdagi nuqtalar to’plamiga ekvivalent bo‘lga
to ‘plamlarni kontinuum quvvatli to‘plamlar deyiladi.
Tabiiyki albatta kontinuum quvvatga ega bo ‘lgan harqanday to‘plam sanoqsiz to’plamdir .
Endi kontinuum quvvatli to‘plamlar haqida bir nevhta teoremalar
ko’rib chiqamiz.
Teorema2. Har qanday segmentdagi nuqtalar to ‘plami kontinuum quvvatli to ‘plamdir.
Isbot.Haqiqatan agar segmentning o ‘zgaruvchi elementini bilan , u holda almashtirish bu segmentlarni bir-biriga o‘zaro bir qiymatli aks ettiradi.Demak segmentdagi nuqtalar
to’plami kontinuum quvvatga ega .
Bu teorema va yuqordagi teoremadan bevosita quydagi natija kelib chiqadi.
Natija . Har qanday yoki yarim oraliqlar va oraliqdagi nuqtalar to’plami kontinuum quvvatga ega .
Teorema3.Kontinuum quvvatga ega ikki va to‘plamning
yig‘indisi ham kontinuum quvvatga ega .
Isbot. to ‘plam kontinuum quvvatga rga bo ‘lgani sababli segmentga ekvivalent va to ‘plam esa yarim oraliqqa ekvivalent ,natijada va to ‘plamlarning yig ‘indisi segmentga ekvivalent bo ‘ladi.
2 teoremaga asosan segment kontinuum quvvatga ega demak to ‘plam kontinuum quvvatga ega.
Shunday qilib kesma sanoqsiz bo ‘lgan to‘plamga misol bo‘ladi.
Endi kesmaga ekvivalent bo‘lgan ya’ni kontinuum quvvatli
to‘plamlarga misollar keltiramiz.
1-Misol. kesma va intervalning ekvivalent to’plamlar ekanligini isbotlang.
Isbot. Buning uchun dan sanoqli qism to’ plamni ajratamiz va undan foydalanib
to‘plamni quramiz.Ushbu
, ,

Akslantirish to ‘plar o‘rtasida biyektiv moslik o ‘rnatadi.
2-Misol.Tekislikdagi hamma to‘g ‘ri chiziqlar to’plami kesmaga ekvivalentdir.
Sonlar o’qida murakkabroq kontinuum quvvatli to’plamga misol qaraymiz.
Qaraliyotgan bu to‘plam kantor to’plami yoki Kantor mukammal to‘plami nomi bilan taniqli.
3-Misol.Kantor to’plamini kontinuum quvvatli ekanni ko‘rsating .
Yechish. Kantor to’plami quydagicha quriladi. bo ‘lsin. Undan
intervalni chiqarib tashlaymiz qolgan yopiq to ‘plamni bilan belgilaymiz.Keyin dan intervallarni chiqarib tashlaymiz,ularning birlashmasini orqali ,qolgan yopiq
to ‘plamni ,ya’ni

To ‘plamni bilan (1-chizma) belgilaymiz .Bu to ‘rtta kesmaning har biri teng 3 qismga bo ‘linib ,o ‘rtadagi teng bo ‘lgan interval chiqarib tashlanadi .Chiqarib tashlangan

To ‘plamni bilan ni esa bilan(1-chizma) belgilaymiz.Bu jarayoni cheksiz davom ettirib,yopiq to ‘plamlarning kamayuvchisi ketma-ketligini hosil qilamiz .Agar

deb belgilasak , yopiq to ‘plam bo ‘ladi.U kesmadan sanoqli sondagi intervallarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo ‘ladi.Hosil bo ‘lgan to ‘plam Kantor to’plami.
Endi K to'plamningstrnkturasini o'rganamiz. Ravshanki , [0, 1] kesmadan chiqarib tashlangan intervallarning oxirlari bo'lgan

nuqtalar К ga tegishli bo'ladi. Biroq К to’plam faqat shu nuqtalardan iborat emas.
[0, 1] kesmadagi К ga tegishli bo'lgan miqtalarni quyidagicha xarak- terlash mumkin. Buning uchun [0, 1] kesmadagi har bir x ni uchlik sistemada yozamiz:



bu yerda sonlar 0, 1 va 2 raqamlardan birini qabul qilishi mumkin.
o‘nli kasrlar holidagidek bu yerda bam ba'zi sonlarni ikki xil
ko ‘rinishda yozish mumkin. Masalan,



1-chizma
Endi К to‘plamga tegishli soniarning uchlik sistemadagi yoyilmasi haqida fikr yur tamiz. Ravshanki intervaldagi sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida son albatta 1 ga teng bo'ladi. intervallarga tegishli sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida
son albatta 1 ga teng bo ‘ladi. Xuddi shunga о‘ xshash
intervallarga tegishli sonlar uchun ularning uchlik sistemadagi yoyilmalarida son albatta1 ga teng bo‘ladi va hokazo. Shunday qilib, ixtiyoriy son uchun uning uchlik sistemadagi yoyilmasida qatnashuvchi Sonlarning kamida bittasi 1 ga teng. Aytilgan mulohazalardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: К to'plamga kamida bir usul bilan uchlik kasr ko'rinishida tasvirlanuvchi shunday x € [0, 1] sonlar kiradiki. ularga mos ketma-ketlikda 1 raqami biror marta ham uchra maydi. Shunday qilib, bar bir x € К uchun ketma-ketlikni mos qo'yish mumkin, bu yerda raqam 0 yoki 2 ni qabul qiladi. Bunday ketma-ketliklar to'plami kontinuum quwatli to ‘planmi tashkil qiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun har bir ketma-ketlika ketma-ketlikni shunday mos qo'yamizki, agar
bo ‘lsa bo ‘ladi,agar bo ‘lsa bo ‘ladi Har bir ketma-ketlikni kesmadagi biror x sonning ikkilik kasr yozuvi deb qarash mumkin. Shunday qilib, К to‘plamni [0, 1] ga biyektiv akslantirishni olamiz. Bu yerdan К ning kontinuum quwatli to'plam ekanligi kelib chiqadi.

ketma-ketlikdagi sonlar to'plami sanoqli bo‘lgani uchun. ular К ni to ‘la qoplamaydi. Biz ko'rsatdikki. К kontinum quvvatga ega, ya’ni [0, 1] kesma bilan К to'plam o‘rtasida biyektiv moslik mavjud. Bundan tashqari Kantorning mukammal to’plami bir qator ajoyib xossalarga ega. Masalan:
Kantor to‘plamining o'lchovi nolga teng
Kantor to‘plamining yakkalangan nuqtalari mavjud emas.
Kantor to‘plamining ichki nuqtalari mavjud emas.
Kantor to'plami [0. 1] kesmaning hech yerida zich emas.
Kantor-Bernshteyn teoremasi.
Teorema.( Kantor-Bernshteyn) Ixtiyoriy va cheksiz to'plamlar berilgan bo‘lsin. Agar to 'plamni to ‘plarnning qism to‘plamiga biyektiv akslantiruvchi akslantirish va to'plamni to'plarnning qism to‘plamiga obiyektiv akslantimochi akslantirish mavjud bo‘lsa, u holda va to'plamlar ekvivalentdir.
Isbot. Umumiylikni chegaralamasdan, va to'plamlar kesishmaydi deb faraz qilishimiz mumkin. Ixtiyoriy elementni olamiz va
ketma-ketlikni quyidagicha aniqlaymiz. Agar to ‘plamda
shartni qanoatlantiruvchi element mavjud bo'lsa, uni deb beldilaymiz.Agar to ‘plamda tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjud bo ‘lsa uni deb beldilaymiz.Aytaylik elementaniqlangan bo ‘lsin .Agar juft bo ‘lsa , u holda orqali
dagi shunday elementni tanlaymizki (agar bunday element mavjud bo'lsa), shart bajarilsin ,agar toq bo ‘lsa , dagi shunday elementki(agar mavjud bo ‘lsa) shart bajarilsin.Bu yerda ikki holat ro’y berishi mumkin.

1. 
   Biror da ko’rsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi element mav­jud bo'lmaydi. Bu holda nomer elementning tartib soni deyiladi.
   
2. 
   Cheksiz ketma-ketlikka ega bo'lamiz. Bu holda x elementning