Mavzu: Kesmada uzluksiz bo'lgan funksiyalar haqidagi teoremalar Reja

Tekis uzluksiz funksiya. Kantor teoremasi
y=f(x) funksiya X to’plamda uzluksiz va X bo’lsin. U holda uzluksizlik ta’rifiga ko’ra har bir >0 uchun shunday >0 son topilib, |x- |< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x X lar uchun |f(x)-f( )|< tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda son ga bog’liq. Ikkinchi tomondan son nuqta o’zgarishi bilan ham o’zgarishi mumkin. Demak, son ham ga, ham nuqtaga bog’liq.
Ba’zi bir funksiyalar mavjudki, topilayotgan son faqat >0 ga bog’liq bo’lib, nuqtaga bog’liq emas.
Ta’rif. Agar har bir >0 son uchun shunday >0 son topilib, |x’-x’’|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x’,x’’ X nuqtalar uchun |f(x’)-f(x’’)|< tengsizlik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya X to’plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki X to’plamda tekis uzluksiz bo’lgan funksiya shu to’plamda uzluksiz bo’ladi, aksinchasi har doim to’g’ri bo’lavermaydi. Ya’ni shunday uzluksiz funksiyalar mavjudki, lekin tekis uzluksiz emas.
Misol. f(x)= funksiya X=(0:1] da uzluksiz, lekin tekis uzluksiz emas.
Haqiqatan, =1 songa mos kelgan >0 mavjud emas. Ya’ni, qanday >0 son olmaylik x’,x’’ sonlar topilib, |x’-x’’|< bo’lib,
|f(x’)-f(x’’)| bo’ladi. nuqtalarni olaylik. |x’-x”|= = . n nomerni shunday tanlash mumkinki bo’ladi. Lekin |f(x’)-f(x’’)|=|n-(n+1)|=1 bo’ladi.
Demak, f(x)= funksiya tekis uzluksiz emas.
Endi, uzluksiz funksiyalar qaysi vaqtda tekis uzluksiz bo’ladi degan savol tug’iladi, bu savolga ushbu teorema javob beradi.
Teorema. (Kantor teoremasi) Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda f(x) funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo’ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish yo’li bilan isbotlaymiz. Ya’ni [a;b] da uzluksiz bo’lgan f(x) funksiya bu kesmada tekis uzluksiz bo’lmasin. Demak, biror >0 son mavjudki, >0 sonni har qancha kichik qilib olmaylik, [a;b] segmentda shunday x’ va x’’ nuqtalar topiladiki, |x’-x’’|< bo’lsa ham |f(x’)-f(x’’)| bo’ladi.
Nolga intiluvchi ,…, ketma-ketlikni olamiz. _n ning har bir qiymatiga mos ikkita [a;b] topiladiki, ular uchun bo’lib, bo’ladi. [a;b], demak chegaralangan. Undan Bol’tsano-Veyershtrass teoremasiga binoan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin: . Geyne ta’rifiga binoan f( ) f( ). tengsizlikka asosan ekanligi kelib chiqadi. Bundan f( ) f( ). Bulardan ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan tengsizliklardan ning 0 ga intilmasligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
Ta’rif. {f(x)}- {f(x)} ayirma f(x) funksiyaning X to’plamdagi tebranishi deb ataladi va = {f(x)}- {f(x)} orqali belgilanadi.
Natija. Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda ixtiyoriy >0 son uchun shunday >0 son topilib, [a;b] segmentni uzunliklari dan kichik bo’laklarga bo’linganda funksiyaning har bir bo’lakdagi tebranishi dan kichik bo’ladi.

Xulosa:
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaning qiymatlar to’plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo’lib, u uzluksiz va qat’iy o’suvchi (kat’iy kamayuvchi) bo’ladi.

Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo’lgani uchun Bol’tsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to’ldiradi. Shuning uchun har bir y₀ Y ga mos keladigan X topilib, f( )=y₀ bo’ladi.