Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi Ma’ruza Reja

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi
Ma’ruza
Reja:
1⁰. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uzluksizligi tushunchasi
2⁰. Uzluksiz funksiyalarning sodda xossalari.
3⁰. To‘plamda uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
4⁰ Funksiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi.
1⁰. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uzluksizligi tushunchasi.
Faraz qilaylik, funksiya fazodagi to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar
(1)
bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-ta’rif (Geyne). Agar
1) da ;
2) da
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun
da
bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
3-ta’rif (Koshi). Agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Umuman, funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi quyidagini anglatadi:
.
Odatda, ushbu

ayirma, funksiyaning nuqtadagi orttirmasi (to‘liq orttirmasi) deyiladi.
Agar

deyilsa, unda

bo‘ladi. Yuqoridagi (1) munosabatdan foydalanib quyidagi tasdiqni ayta olamiz:
funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun
ya’ni
bo‘lishi zarur va yetarli.
Yuqoridagi ta’riflar ekvivalent ta’riflar bo‘ladi.
Agar (1) munosabat bajarilmasa funksiya nuqta-da uzilishga ega deyiladi.
4-ta’rif. Agar funksiya to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamda uzluksiz deyiladi.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi tushunchasi bilan bir qatorda uning xususiy orttirmalari tushunchalari ham kiritiladi.
Ushbu

ayirmalar mos ravishda funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.
Ravshanki,

bo‘ladi. Biroq, da bo‘lishidan

bo‘lishi har doim kelib chiqavermaydi (bunga misol keyingi punktda keltiriladi).