Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi Ma’ruza Reja

3-teorema. Agar funksiya chegaralgan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamda o‘zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi, ya’ni

bo‘ladi.
Yuqoridagi teoremaga ko‘ra funksiya to‘plamda chegaralangan bo‘ladi. Unda bu funksiya aniq chegaralarga ega:
.
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra

bo‘ladi. Ravshanki, chegaralangan ketma-ketlik bo‘lib, undan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinki,
da va (5)
bo‘ladi. Berilgan funksiyaning uzluksizligidan foydalanib topmiz:
da .
Ayni paytda,
da
bo‘lib, undan da
(6)
bo‘lishi kelib chiqadi.
(5) va (6) munosabatlaradan

bo‘lishini topamiz.
Xuddi shunga o‘xshash

bo‘lishi isbotlanadi.
4-teorema. Faraz qilaylik. funksiya bog‘lamli to‘plamda berilgan bo‘lsin.
Agar
1) funksiya da uzluksiz,
2)
nuqtalarda turli ishorali qiymatlarga ega
yoki
bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki

bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya bog‘lamli to‘plamda uzluksiz bo‘lib,

bo‘lsin.
bog‘lamli to‘plam. Binobarin, va nuqtalarni birlashtiruvchi va shu to‘plamga tegishli siniq chiziq topiladi. Agar bu siniq chiziq uchlarini ifodalovchi nuqtalarning birida funksiya nolga aylansa teorema isbotlanadi.
Agar siniq chiziq uchlarida funksiya nolga aylanmasa, u holda siniq chiziqning shunday kesmasi topiladiki, uning bir uchi da , ikkinchi uchi da bo‘ladi.
Endi ni shu kesma

da qaraymiz. Unda

bo‘lib, bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiya segmentda uzluksiz va

bo‘ladi. Unda 16-ma’ruzada keltirilgan teoremaga ko‘ra, shunday nuqta topiladiki,

ya’ni

bo‘ladi. Agar

deyilsa, unda nuqtada

bo‘ladi.
5-teorema. Faraz qilaylik, funksiya bog‘lamli to‘plamda berilgan bo‘lsin. Agar
1) funksiya da uzluksiz,
2) nuqtalarda
qiymatlarga ega va bo‘lsa, u holda A bilan V orasida har qanday son olinsa ham, shunday nuqta topiladiki,

bo‘ladi.
Bu teorema yuqoridagi 4–teorema kabi isbotlanadi.