Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi Ma’ruza Reja

6-ta’rif. funksiya to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Unda

son funksiyaning to‘plamidagi tebranishi deyiladi.

Natija. funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u holda son uchun shunday son topiladiki, to‘plamning diametri dan kichik bo‘lgan to‘plamlarga shunday ajratish mumkinki,
,
har bir da

bo‘ladi.
Natijaning shartidan funksiyaning to‘plamda tekis uzluksizligi kelib chiqadi. Unda ta’rifga binoan uchun shunday topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtalarda

bo‘ladi.
Ravshanki, nuqtalar uchun

tengsizlik bajariladi. Demak,
.
Keyingi tengsizlikdan
,
ya’ni

bo‘lishi kelib chiqadi.
Xususiy hollar. bo‘lganda va bundagi to‘plamda berilgan funksiyaning uzluksizligi bir o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi bo‘lib, uning xossalari 15-17-ma’ruzalarda o‘rganilgan. bo‘lganda va undan to‘plamda berilgan funksiyaning uzluksizligi, ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi bo‘lib, uning nuqtadagi uzluksizligi quyidagicha bo‘ladi: Agar

bo‘lsa,
yoki

bo‘lsa, yoki
da bo‘lgan va da
bo‘ladigan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo‘lsa yoki

bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

1-misol. Ushbu

funksiyaning da uzluksiz bo‘lishi ko‘rsatilsin.
sonini olamiz. Unga ko‘ra soni deyilsa, u holda

tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalarda

bo‘ladi. Bu esa ta’rifga ko‘ra berilgan funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishini bildiradi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin. Ma’lumki, bu funksiyaning to‘liq orttirmasi
,
xususiy orttirmalari


bo‘ladi .
Agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada o‘zgaruvchi bo‘yicha ( o‘zgaruvchi bo‘yicha) uzluksiz deyiladi. Ravshanki, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu nuqtada har bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha uzluksiz bo‘ladi.
Biroq, funksiyaning nuqtada har bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha uzluksiz bo‘lishidan uning shu nuqtada uzluksiz bo‘lishi har doim kelib chiqavermaydi