Mavzu: Kompleks o’zgaruvchili funksiya tushunchasi

6. Giperbolik funksiyalar

Кompleks o’zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari ham haqiqiy o’zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari kabi aniqlanadi.


Bunda lar davrli, lar davrli funksiyalar. Кompleks o’zgaruvchining giperbolik va trigonometrik funksiyalari orasida quyidagi bog’lanish mavjud.

Isboti:
8-misol. ning qiymatini hisoblang.
Yechish:

Кompleks o’zgaruvchilar funksiyasining hosilasi

Agar kompleks sohada funksiya berilgan bo’lib va bu sohaning biror nuqtasidagi argument va funksiya orttirmalari quyidagicha bo’lsin:
10-ta’rif. Agar har qanday yo’l bilan nolga intilganda nisbat faqat birgina aniq limitga intilsa, u limitning qiymati funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi, demak
(10)
yoki bo’lgani uchun (1) ni quyidagicha yozish mumkin:
(11)

Chunki,

Bunda
11-ta’rif. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, uni bu nuqtada differensiallanuvchi yoki monogen funksiya deyiladi.
10-ta’rifdan ko’rinadiki, agar nuqtada hosilaga ega bo’lsa, (1) limitining qiymati nolga qaysi yo’l bilan intilishiga bog’liq emas. Demak, biz nuqtani nuqtaga parallel holda ham intiltirishimiz mumkin. Bu holda bo’ladi (10 a)-rasm)

10-rasm.
(12)
Xuddi shuningdek, nuqta ga ga parallel holda intiltirsak
bo’ladi va (2) dan ushbu kelib chiqadi (10 b-rasm)

(13)
(12) va (13) lardan ushbu tenglamalarni hosil qilish mumkin
(14)
(14)-ga Кoshi-Riman shartlari deyiladi
Teorema. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi uchun funksiyalar da differensiallanuvchi va Кoshi-Riman shartlarining bajarilishi uchun zarur va yetarlidir.
9-misol. hosilaga egaligi yoki ega emasligini toping.
Yechish: Кoshi-Riman shartlarini
tekshiramiz
Demak, bu funksiya hosilaga ega.
yoki

10-misol. hosilaga ega ekanligini tekshiring.
Yechish:
bitta shart bajarilmagani uchun bu funksiya hosilaga ega emas.
Biz ko’rdikki, agar funksiyaning nuqtadagi hosilasini topish kerak bo’lsa, quyidagi 4 ta formulaning biridan foydalanish mumkin.
, (15)
Lekin f(z) funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari ajralmagan holda bo’lsa, bu formulalardan foydalanish noqulay bo’ladi. f(z) ning hosilasiga matematik analizdagi haqiqiy o’zgaruvchili funksiyaning hosilasi qoidalarini qo’llash mumkin, ya’ni:
1. 2) 3)
4) 5)
12-ta’rif. Agar f(z) funksiya E sohaning z₀ nuqtasida va uning atrofida ham differensiallanuvchi bo’lsa, u funksiya shu nuqtada analitik deyiladi.
13-ta’rif. Agar f(z) funksiya E sohaning barcha nuqtalarida hosilaga ega bo’lsa, u funksiya E da analitik deyiladi.
14-ta’rif. f(z) Funksiya analitik bo’lgan nuqtalar uning to’g’ri nuqtasi, analitik bo’lmagan nuqtalari esa maxsus nuqtalari deyiladi.