Mavzu: Ko’rsatkichli tenglamalar Avvalo haqiqiy ko’rsatkichli darajaning ushbu asosiy xossasini yodga olamiz. 1-xossa

Mavzu: Ko’rsatkichli tenglamalar
Avvalo haqiqiy ko’rsatkichli darajaning ushbu asosiy xossasini yodga olamiz.
1-xossa: a>0 va x R bo’lsa, a^x >0 bo’ladi
Bu xossa ko’rsatkichli tenglamalarni yechishda muhim ahamiyatga ega.

1. 
   eslatma: aⁿ darajada, a – darajaning asosi, n esa darajaning ko’rsatkichi deyiladi.
   

Ta’rif: Daraja ko’rsatkichida noma’lum ishtirok etadigan tenglamalar ko’rsatkichli tenglamalar deyiladi.
Eng sodda ko’rsatkichli ternglama a^x=b ko’rinishdagi tenglamadir, bunda a va b berilgan sonlar bo’lib, a>0 va a , x- esa noma’lum son.a^x=b tenglamani yechish uchun b ni a^c shaklida yozib olish kerak bo’ladi.
Shunda biz a^x=a^c tenglamaga ega bo’lamiz va asoslarini tashlab yuborsak, x=c yechimiga ega bo’lamiz.
Masalan: Ushbu tenglamalarni yechaylik,
1) 3^x = 81 2) 4^2x-3 =64
3^x=3⁴ 4^2x-3 =4³
x= 4 2x-3=3
Javob: x=4 2x=6
Javob: x=3

1. 
   xossaga ko’ra, a>0 bo’lsa, a^x>0 bo’lishini bilamiz demak
   

b bo’lsa , a^x =b tenglama yechimga ega bo’lmaydi.
Masalan: a) 2^x = - 4 b) 3^x = 0 kabi tenglamalar yechimga ega emas.

2-eslatma: 2^x = 7 tenglama berilganda biz hozircha 7 ni 2 asosli daraja ko’rinishida ifodalay olmaymiz,lekin bu tenglama yechimga ega ekanini bilamiz.Keyingi bo’limda biz shunga o’xshash tenglamalarning yechimlarini yozishni o’rganamiz. Ko’rsatkichli tenglamalarning asosiy tiplari va ularni yechish usullari bilan tanishishni boshlaymiz:
3) 5^x 3^2x=2025 4) 2^x+2 – 3 ^x-1=40
5^x 9^x =2025 2^x-1 (2³ -3) =40
45^x = 45² 2^x-1 = 8
x= 2 2^x-1 =2³
Javob: x=2 x-1=3
x=4
Javob: x=4
5) 3^x = 7^x tenglamalarni yeching.
Bu tenglamalarning ikkala qismini 7^x ga bo’lib yuborsak
tenglama hosil bo’ladi.Bundan ( )^X = ( )⁰ tenglama hosil
bo’ladi va x=0 yechimga ega bo’lamiz.
3-eslatma: Umuman olganda a>0 va b> 0 bo’lsa ,a^{f (x)}= b^{g (x)} tenglamalarning ildizi f (x) =0 va g (x) =0 tenglamalarning umumiy ildizi bo’ladi.
6)
bu tenglamaning yechimi x²-1=0 va x+1=0 tenglamalarnin umumiy yechimidan iborat bo’ladi.
X²-1=0 tenglama ildizlari x₁=-1 va x₂=1
X+1=0 tenlama ildizi esa x=-1
Umumiy ildiz x=-1
Javob: x=-1
7) 3^x+3+3^x = 7^x+1 + tenglamani yeching
3^x(3³ +1)= 7^x(7+5)
3^x∙28=7^x∙12


x =1
Javob : 1
7) tenglamani yeching.
2^x =t deb belgilasak ,t ga nisbatan kvadrat tenglama hosil
bo’ladi.
8t² – 6t +1=0
Bu tenglamaning ildizlari t₁ = sonlari bo’ladi.
Topilgan ildizlarni belgilashdagi t ning o’rniga qo’yib hosil
bo’lgan tenglamalarni yechamiz.

1)

2)
Javob : x₁ =-1,x₂ =-2