Mavzu: Kroneker-Kapelli teoremasi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental yechimlar. Mundarija

Mavzu: Kroneker-Kapelli teoremasi

MAVZU: Kroneker-Kapelli teoremasi.
Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental
yechimlar.

MUNDARIJA
1. Elmentar almashtirirshlar………………………………………….
2. Kroneker-Kapelli teoremasi……………………………………….
3. Bir jinsli tenglamalar sistemasi……………………………………
4. Fundamental yechimlar……………………………………………
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………..
Mashg`ulotning maqsadi: talabalarda tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lish yoki bo`lmasligining shartlari haqida bilim va ko`nikmalarni shakllantirish.
Bizga maydon

(1)

tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lib,

(2)
asosiy va

(3)
kengaytirilgan matrisalar bo’lsin. Bu matrisalarning rangini qulaylik uchun va shaklda belgilab olamiz.

Lemma: Chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matrisaning ranglar teng yoki bittaga ortiq.

Isbot. Haqiqatan ham ning noldan farqli eng katta minori da ham noldan farqli minor bo’ladi.

Agar bu minor da ham noldan farqli eng katta minor bo’lsa, uning ranglari teng bo’ladi. Keyingi tartibli minor ozod usutuni o’z ichiga oluqchi tartibli minor bo’lib, bu noldan farqli bo’lsa, bo’ladi. Lemma isbot bo’ldi.

Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish masalasi quyidagi Kroneker –Kapelli deb nomlanuvchi teorema orqali to’la hal qilinadi:
Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi)
Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi.

Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin.

U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir
ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining

chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak

va vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni .

Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda lemmaga asosan martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida

ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak lar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.

Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz:
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi.

Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi.

Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak.
Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.
Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan takomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlarini topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish bilan shugulanamiz.
Endi bu o’tgan ma’ruazalardagi ma’lumotlarni eslaymiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar almashtirishlari deb nimaga aytiladi?
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasizlar?
Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?
Matrisaning rangi haqidagi teorema qanday ifodalanadi?
Matrisaning rangi qanday yo’llar bilan topiladi?
A va B matrisalarning ranglari haqida nima deyish mumkin, ya’ni ular tengmi yoki qaysi birining rangi katta?
Qanday o’ylasizlar, A va B matrisalarning ranglari bilan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi orasida bog’lanish bormi yoki yo’qmi?
Oxirgi savolga javobni quyidagi Kroneker –Kapelli teoremasi beradi: