Mavzu: Kroneker-Kapelli teoremasi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental yechimlar. Mundarija

Teorema -1(Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarlidir, ya’ni
Teoremani isbot qilamiz.
Zarurligi. Aytaylik (1) birgalikda bo’lsin, ya’ni shunday


Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning
1-nchi ustunini ga,
2-nchi ustunini ga
va hakoza,
- nchi ustunini ga
ko’paytirib, ularning hammasini -nchi ustunga qo’shib yuboramiz. Natijada quyidagi matrisani hosil qilamiz:

Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi.
Shunday qilib, .
Yetarliligi. Endi (1) sistemaning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lsin. .
Umumiylikka zarar keltirmasdan va qulayligi uchun A matrisaning rangini aniqlaydigan r-tartibli minor matrisaning yuqori chap burchagida joylashgan bo’lsin deb olamiz, yani

U holda B matrisaning dastlabki -satri chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki bu matrisaning rangi ga teng, B matrisaning qolgan ta satrlari dastlabki -ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bu esa (1) sistemaning dastlabki –ta tenglamasi chiziqli bog’lanmaganligini, qolgan ta tenglamalari esa ularning chiziqli kombinasiyalaridan iborat ekanligini anglatadi. Demak, ChTSlarning elementar almashtirishlari yordamida keyingi ta tenglamalar nolga aylantirilishi mumkin. Bu holda (1) sistemada ta tenglama qoladi. Bizga shu –ta tenglamadan iborat bo’lgan sistemani yechish yetarli. Topilgan yechimlar qolgan ta tenglamalarni ham qanoatlantiradi.
Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
sistemaning asosiy determinanti bo’lib, bu sistemani Kramer formulalari bilan yechish mumkin. Bu holda (1) sistema birgalikda bo’lib, yagona yechimga ega bo’ladi.
2) . Bu holda (1) sistemaning ta tenglamasini qoldiramiz. Bu tenglamalarda dastlabki ta noma’lumni tenglikning chap tomonida qoldirib qolganlarini o’ng tomonga o’tkazamiz:

sistemadagi noma’lumlarni ozod noma’lumlar deb e’lon qilamiz va ularga ixtiyoriy qiymatlar beramiz. Natijada (4) sistemadan asosiy noma’lumlar larning mos qiymatlarini hosil qilamiz. Bu holda (1) sistema birgalikda bo’lib, u cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi, ya’ni aniqmas sistemadan iborat bo’ladi.
(4) sistemaning asosiy noma’lumlarini ozod noma’lumlar orqali ifodalangan yechimiga (1) sistemaning umumiy yechim deyiladi.
Shunday qilib, agar bo’lsa, (1) sistema birgalikda (aniq yoki aniqmas), bo’lsa, (1) sistema birgalikda bo’lmaydi.
Teorema isbot bo’ldi.
1) sistemaning o’ng tomonidagi ozod hadlari nolga teng bo’lsa, unga bir jinsli deyiladi:

1. 
   . Bu holda (1) sistemaning dastlabki ta tenglamasidan iborat bo’lgan
   

U holda B matrisaning dastlabki -satri chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki bu matrisaning rangi ga teng, B matrisaning qolgan ta satrlari dastlabki -ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bu esa (1) sistemaning dastlabki –ta tenglamasi chiziqli bog’lanmaganligini, qolgan ta tenglamalari esa ularning chiziqli kombinasiyalaridan iborat ekanligini anglatadi. Demak, ChTSlarning elementar almashtirishlari yordamida keyingi ta tenglamalar nolga aylantirilishi mumkin. Bu holda (1) sistemada ta tenglama qoladi. Bizga shu –ta tenglamadan iborat bo’lgan sistemani yechish yetarli. Topilgan yechimlar qolgan ta tenglamalarni ham qanoatlantiradi.
Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.

1. 
   . Bu holda (1) sistemaning dastlabki ta tenglamasidan iborat bo’lgan
   

Faraz kilaylik sistema birgalikda bulib, aniklovchi minor  (bu minorlar bir nechta bulishi mumkin) bulsin. Koeffisiyentlari shu minorni beruvchi  ta noma’lumlar tenglamani chap tomoniga koldirib, koeffisiyentlari bu minorga kirishgan tenglamalrni tashlab yuboramiz. Bundan tashkari kolgan  noma’lumlarini tenglamaning ung tomoniga utkazib, ularni ozod uzgaruvchilar sifatida kabul kilamiz. Natijada biz (1) sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bulgan  ta noma’lumni  ta tenglamalr sistemasi xosil kilib, bu tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farkli  minordan iborat buladi. Xosil bulgan tenglamalar sistemasiga Kramer koidasini kullab, noma’lumlarni topamiz va natijada ozod uzgaruvchining xar bir kiymatlarida  ta noma’lumlar topiladi va ular birgalikda (1) sistemaning yechimi buladi.

Tabiiyki, agar biz bulsa, (1) tenglamalar sistemasif. Ta noma’lumli  ta tenglamalr sistemasini beradi va demak Kramer koidasiga asosan bu tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega buladi.
Misol. Ushbu

tenglamalar sistemasini birgalikda bo`lishga tekshiramiz:

Bizga ma’lumki  bo`lib,  minor rangni aniqlovchi minordir. Endi  matritsaning rangini topamiz. Buning uchun shu minorni o`z ichiga oluvchi xarakteristik minorlarini xisoblaymiz:

va demak  bo`lib, sistema birgalikda bo`ladi. Endi koeffisiyentlari  minorni beruvchi  minorlar tenglamaning chap tomoniga koldirib,  ta  noma’lumlar tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazib, ozod uzgaruvchilar sifatida qabul qilamiz va sistemadagi uchinchi tenglamani tashlab yuboramiz. Natijada sistemaga teng kuchli bo’lgan

sistemani hosil qilamiz. Endi umumiy yechimga masalan  qiymatlar bersak umumiy yechimi
bulib, ixtiyoriy qiymatlar berib,  larni topamiz.

ikkii noma’lumli ikiita tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Kramer qoidasini qo’llab,

hosil qilamiz va demak  va buni (1, 15, 5, 1, 1) vektor kurinishda yozamiz. Sonlar sistemanig yechimi bo’ladi (tekshiringlar).
Huddi shunday sistemaning umumiy yechimidagi  noma’lumlarga ixtiyoriy kiymatlar berib,  larni topib, sistemaning yechimlarini hosil qilamiz.
Tabiyki Kramer – Kapelli teorema nazariy nuqtai nazardan takomillashgan bo’lib, amaliy nuqtai nazardan murakkab bo’lib unga qaraganda Gauss usuli ancha qulaydir, lekin shunga qaralganda amalda biz bu usllarni birgalikda tatbiq qilib sistemalarni ishlasak, uni yanadaroq oson va tez yechimlari masalasini baholab, yechishimiz mumkin. 
Algebrada, matematikada va umuman boshqa sohadagi fanlarda ma’lum bir sohani (obyektni) o’rganish uncha ahamiyat kasb yetmasahamki, ulardan kelib chiqadigan yangi yo’nalishlarning ahamiyati katta ahamiyatga ega bo’lishi mumkin. Birinchi misolimizda chiziqli tenglamalar va ularning yechilishi masalasi davomida biz algebraning yangi tarmoqlari: determinantlar nazariyasi, o’rniga qo’yishlar gruppasi (chekli gruppalar nazariyada juda katta ahmiyatga ega), matrisalar haqida tushunchalar (keyinchalik bu yo’nalishni davom ettiramiz), arifmetik fazolar (keyinchalik bu chiziqli fazolar va ularni o’rganishga olib keladi) va bu yerda yaratilgan usullar kelajakda biz o’rganayotgan algebra va sonlar nazariyasi kursida, matematikaning boshqa tarmoqlarida va boshqa fanlarda (masalan biz fizikada ayrim tadbiqlarini misolda keltirib o’tdik) juda katta ahamiyat kasb etadi.
Bundan tashqari biz algebraik nuqtai nazardan qaraganimizda  tenglamani  yechish masalasida  butun sonlar to’plami (haqiqiy) vujudga kelishini (masalan,  tenglama  da yechimga ega emas, ammo  ni  tenglamani yechimlari yordamida kengaytirilgan  butun solar halqasida yechimga ega) va  , tenglamani  da ham yechimga ega bo’lmasligi turli uning yechimlarini (rasional sonlar)  halqa bilan birlashtirgan,  rasional sonlar to’plamini (maydonini) hosil bo’lishligini bilamiz. Bundan tashqari  tenglama  rasional sonlar maydonida yechimga ega bo’lmasligi va uning yechimlarini  to’plamga biriktirib,  haqiqiy sonlar to’plamini,  ,  tenglamani  da yechilmasligidan, uni mavhum yechimi bor deb, bu mavhum yechimlar bilan birgalikda, ya’ni  ni  mavhum son bilan kengaytirib,  kompleks sonlar to’plami (maydoni) hosil bo’lishligi bizga tenglamalar, tenglamalar sistemasi va umuman tenglamalarni o’rganish katta ahamiyat kasb etadi (keyinchalik biz ko’phadlar halqasida bu kabi misolar bilan shug’ullanamiz).
Bizga  maydonda  tartibli bir jinsli chiziqli tenglamar sistemasi
(1)yoki
(2)
berilgan bo’lsin.
Berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasi hamma vaqt birgalikda, chunki  nollar sistemasining yechimi bo’ladi. Bundan tashqari Kroniker – Kapilli teoremasi bu sistemani birgalikda bo’lishligini tasdiqlaydi, chunki  va bu teoremaga asosan, agar  bo’lsa, sistemani Kramer qoidasiga asosan bo’lganligi uchun aynan yerl yechimlarga ega bo’ladi. Agar bo’lsa, (1) sistemani nol bilan birgalikda nolmas yechimlarga ham ega bo’ladi. Biz yechimlarni Kroniker – Kapelli teoremasidan kelib chiqqan usul yordamida quyidagicha topa olamiz, ya’ni agar (1) sistemaning rangini aniqlovchi  matrisaning  bo’lsa koeffisiyentlari shu miqdorni beruvchi noma’lumlar (1) sistemaning chap tomoniga qoldirib qolgan  noma’lumlar  sistemasining o’ng tomoniga o’tkazilib, ozod o’zgaruvchilar sifatida qoldiriladi va koeffisiyentlar  minorga kirgan tengliklar tashlab yuboriladi. Hosil bo’lgan sistemani (1) sisitemaga ekvivalent (tengkuchli) bo’ladi. Agarda biz  minorni bosh minor deb olsak, u holda aytilganlarni quyidagicha yozishimiz mumkin:
(3)
bu yerda

Bosh minor va lar ozod o’zgaruvchilardir. Berilgan sistemaning yechimlaridan  o’lchamli vektorlar tuzamiz va bu vektorlar to’plamini  bilan belgilab olamiz. Tabiiyki,  qism to’plamdir. Shunday tuzilgan  qisim to’plamga (1) sistemaga yechimlar qisim to’plami deb ataladi.  qisim to’plam agarda bo’lsa, faqat bitta nol vektordan iborat bo’ladi va agarda (1) sistemaning  matrisasi  matrisadan iborat bo’lsa, ya’ni  matrisaning rangini  deb qabul qilsak, u holda  bo’ladi.
Endi biz (1) sistemaning yechimlaridan tuzilgan vektorlar to’plami  arifmetik fazo bo’lishligini quyidagi xossa yordamida ko’rsatamiz:
XOSSA:
uchun
;
va  uchun

bo’ladi.
Isbot.  uchun 

va
bo’lib  va  lar (1) sistemaningechimlari bo’lsin. U holda

bo’lib, bo’ladi. Xudi shunday  ekanligini ko’rsatish mumkin. Xossa isbot bo’ldi.
Tabmiiyki,  da  arifmetik fazo kabi boshqa xossalar ham o’rinli bo’ladi, aks holda agar bu xossalar  da o’rinli bo’lmasa,  da ham o’rinli bo’lmaydi, bu yesa  arifmetik fazo ekanligiga ziddir. Shunday qilib,  qisim to’plam o’zi arifmetik fazo tashkil etib, bu  arifmetik fazoning qisim fazosi yoki (1) sistemaga oid yechimlar qisim fazosi deb ataladi.
Shuni ta’kidlaymizki,  arifmetik fazo vektorlarning chiziqli bog’liklik masalalari to’g’ridan - to’g’ri  yechimlar fazosida o’tkaziladi. Masalan,  maksimal siziqli erkli vektorlar sistemasi mavjud va bu vektorlar sistemasidagi vektorlar soni  dan oshmaydi. Ikkinchidan, agar  da ikkita maksimal chiziqli vektorlar sistemasi mavjud bo’lsa, ular ekvivalent, chunki birinchi maksimal vektorlar sistemasini har bir vektori ikkinchi maksimal siziqli vektorlar sistemasini chiziqli kombinasiyasi-dan iborat va aksincha va demak  da maksimal chiziqli erkli vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni vektorlar soni tengdir.
TA’RIF: yechimlar fazosidagi maksimal chiziqli erkli vektorlarga (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Endi biz maksimal erkli vektorlar sistemasining vektorlari soni yoki fundamental yechimlar sistemasining yechimlar soni nechta bo’lishligi haqidagi asosiy teoremani keltiramiz:
TEOREMA: Bir jinsli tenglamalar sistemasiga oid  yechimlar fazosida maksimal erkli chiziqli vektorlar sistemasining vektorlari soni  tadir, ya’ni boshqacha qilib aytganda fundamental yechimlar sistemasi ta yechimdan iborat bo’ladi.
Isbot. Biz yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqqan holda  bitta maksimal chiziqli vektor sistemasi uchun teoremani o’rinli ekanligini ko’rsatsak kifoyadir. (3) sistemada  deb olib, Kramer qoidasini qo’llasak, (3) sistemaning qolgan  yechimlarini topamiz va demak,
.
Xuddi shunday  deb olsak, biz
topamiz vahokazo.
deb olsak, biz

topamiz. Shunday hosil bo’lgan  vektorlar sistemasi chiziqli erklidir, chunki bulardan satrlar bo’yicha tuzilgan

tartibli matrisada noldan farqli eng katta minor mavjud, bu tartibli minor bo’lib,

dan iboratdir.
Endi shunday tuzilgan  chiziqli erkli vektorlar sistemasini maksimal chiziqli erkli qyektorlar sistemasi bo’lishligini ko’rsatamiz. Buning uchun  vektor uchun  vektor sistemasini vektorni chiziqli bog’liqligini ko’rsatishimiz kerak. Faraz qilaylik,  ko’rinishdagi vektor bo’lsin. U holda bu vektor  matrisaning oxirgi  satriga joylashtiramiz, ya’ni

Bu matrisani 1- satrini  ga, 2 satrina  ga, ... ,  - satrini  ga ko’paytirib, oxirgi  satriga qo’shsak  matrisaga ekvivalent
hosil bo’lgan  vektor ya’ni  ga qarashlidir va demak uni (3) olib borib qo’yib, Kramer qoidasini qo’llasak  larni hosil qilamiz. Bunda esa demak  bo’lishligini yoki boshqacha qilib aytganda  vektor  vektorlarni chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lishligi keli chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
da boshqa maksimal chiziqli erkli vektor sistemasini yoki (1) ning boshqa fundamental yechimlar sistemasini topish uchun ozod o’zgaruvchilarga beriladigan qimatlardan tuzilgan  tartibli determinant noldan farqli bo’lishi kifoyadir.
Shunday qilib, (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bu shunaqa yechimlarkim, (1) sistemasining qolgan hamma yechimlari shu fundamental yechimlar sistemasining chiziqli kombinasiyalaridan hosil bo’ladi, ya’ni uchun  . Endi biz bir jinsli bo’lmagan  tartibli
(3)
yoki
(4)
chiziqli tenglamar sistemasi va unga oid (keltirilgan) bir jinsli
(5)
yoki
(6)
chiziqli tenglamalar sistemalari berilgan bo’lsin.
U holda quyidagi teremalar o’rinli bo’ladi:
TEREMA: (3) sistemaning ixtiyoriy yechimi bilan unga oid (5) sistemaning yechimlarining yig’indisi (3) sistemanig yechimi bo’ladi.
Isbot. Haqiqiy  lar (3) sistemaning  lar (5) sistemaning ixtiyoriy yechimlari bo’lsin. U holda

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Bu teoremadan (3) sistemani biror – bir .  yechimi topilpib, uni unga oid (5) sistemasining ixtiyory

yechimiga qo’ysak, (3) sistemaning haqli yechimlarini  tenglik ga ega bo’lamiz, ya’ni (3) sistemaga ixtiyoriy yechimini topish uchun uning biror – bir bitta yechimi va (5) sistemaning  ta fundamental yechimlarini (hammasi bo’lib  ta yechimlarini) bilish kerakdir.
TEOREMA: (3) sistemaning ixtiyoriy ikkita yechimlarining ayirmasi (5) sistemaning yechimi bo’ladi.
Isbot. Haqiqatdan ham,  va  lar (3) sistemaning yechimlari bo’lsin. U holda ularnig ayirmasi  uchun

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Misol. Ushbu bir jinsli

chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koeffisiyentlaridan tuzilgan matrisaning rangi ikiiga teng (tekshiring), noma’lum soni 4 ga teng va demak fundamental yechimlar sistemasi  yechimdan iborat.

bo’lganligi tufayli  tenglamaning chap tomoniga qoldirilib,  lar tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazilib, ozod o’zgaruvchilar sifatida qabul qilinadi va sistemani yechamiz:
Umumiy yesim quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Bularga  qiymatlar berib,  va  qiymatlar berib,  larni opamiz va demak  ,  vektorlar berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lib, ixtiyoriy  yechimi  larning chiziqli kombinasiyalari orqali  topiladi.

Adabiyotlar
1. Hojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Darslik, -T.: O’qituvchi, 2001.
2. Isroilov M.I., Soleyev A.S. Sonlar nazariyasi. – T.: Fan, 2003.
3. Шнeпeрман Л.Б.Сборник задач по алгeбрe и тeории чисeл.-Минск, Вышeйшая школа, 1982.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линeйной алгeбрe.- М.: Наука, 1984.
5. Фадeев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшeй алгeбрe.-М.: Наука, 1977.