Mavzu: Kuchning nuqtaga va o`qqa nisbatan momenti

Kuchning nuqtaga nisbatan momentining vektorligi
Yuqoridagi mavzuda kuchning nuqtaga nisbatan m om entini algebraik m iqdor (kattalik), ya’ni u kuch m iqdori bilan yelkasi uzunligining ko‘paytmasidan iborat deb qaragan edik. Lekin jismga ta’sir qilayotgan kuch fazoda joylashgan bo‘lsa, mazkur kuch momentining moduli va ishorasi jismning aylanma harakatini to ‘liq xarakterlay olmaydi. Shuning uchun kuchning nuqtaga nisbatan mometining vektori tushunchasi kiritiladi.

Kuchning nuqtaga nisbatan m om enti vektorini ikkita vektorning vektor ko‘paytm asidan iborat deb qarash mumkin. Buning uchun moment markazi О nuqtani sanoq sistem asining boshi desak, r kuch qo‘yilgan A nuqtaning radius-vektori bo‘ladi.




(3. 1.10)


(3. 1.11)


1.Kuchning nuqtaga (markazga) nisbatan momenti.

Tajribalar shuni ko`rsatadiki, kuchlar nafaqat jismni ilgarilama harakat qildiraolar ekan, bazi hollarda ixtiyoriy berilgan nuqta atrofida aylanma harakat berishlari ham mumkin ekan. Buning uchun shu tanlangan nuqta qo`zg`almas deb hisoblanadi.

U holda bu jismga tasir etuvchi kuchlar o`zlarining yo`nalishi va son qiymatlariga bog`liq ravishda aylantiruvchi effekt beradilar, ushbu effektni mexanika tilida kuchning momenti deb ataladi (4.1 shakl ).

4.1 shakl.

Kuchning biror nuqtaga nisbatan momenti deb, shu kuchning modulini(son qiymatini), uning shu nuqtagacha bo`lgan elkasiga ko`paytmasiga aytiladi.

Kuchning nuqtaga nisbatan elkasi deb, shu berilgan nuqtadan kuchning tasir chizig`iga tushirilgan perpendikulyarning uzunligiga aytiladi.

Demak, biror nuqtaga nisbatan kuchning momentini aniqlash uchun, shu kuchning modulini (son qiymatini), uning shu nuqtaga nisbatan elkasiga ko`paytmasiga aytilar ekan. Ikkinchidan tanlangan nuqta atrofida jism soat strelkasining qaysi tarafiga qarab aylanishiga ko`ra uni musbat yoki manfiy ishora bilan belgilanadi.

Nazariy mexanika fanida, jismga tasir etayotgan kuchlar, jismni berilgan nuqta atrofida soat strelkasi tomonga aylantirsalar, uning momenti manfiy ishora bilan belgilanadi, agar soat strelkasi yo`nalishiga teskari tomonga aylantirishsa musbat ishora bilan belgilanishi qabul qilingan.

Masalan shaklda ko`rsatilgan kuchning O nuqtaga nisbatan momenti, quyidagicha yoziladi, yani

(4.1)

Ushbu yozuvdan ko`rinib turibdiki, lotincha m - harfi kuchning momentini belgilaydi, indeksdagi O harfi, kuchning qaysi nuqtaga nisbatan momenti hisoblanayotganligini ko`rsatadi.

Qavs ichida qaysi kuchning momenti aniqlanayotganligi ko`rsatilgan, barobardan keyin shu kuchning tasirida jism, o`sha nuqta atrofida qaysi tomonga aylanishiga bog`liq ravishda, tegishli musbat yoki manfiy ishora qo`yilgan. Undan keyin tegishli kuchning son qiymatini uning shu nuqtaga nisbatan elkasiga ko`paytmasi bilan ifodalanadi.

SHunga ko`ra kuchning nuqtaga nisbatan momentining o`lchov birligi (Nm)larda o`lchanadi, yani kuch birligi (Ng`yuton)ning uzunlik birligi (metr)ga ko`paytmasi bilan o`lchanadi.

Kuchning nuqtaga nisbatan momentining quyidagi xususiyatlari bilan tanishib o`tish lozim deb hisoblayman:

1. Kuchni o`z tasir chizig`i bo`ylab boshqa nuqtaga ko`chirsak, uning o`sha nuqtaga nisbatan momenti o`zgarmaydi.

   
   

2. Agar kuchning son qiymati nolga teng bo`lsa, yoki uning tasir chizig`i berilgan markazni kesib o`tsa, uning shu markazga nisbatan olingan momenti nolga teng bo`ladi.

   
   

3. Kuchning nuqtaga nisbatan momentining son qiymati, shu kuchning vektori bilan berilgan nuqtaga qurilgan uchburchakning ikkilangan yuzasiga teng (shakl 4.1 b).

   
   

Kuchning nuqtaga nisbatan momenti vektor qiymat bo`lib, u kuch qo`yilgan nuqtaning radius vektori bilan kuch vektorining vektor ko`paytmasiga teng, yani


(4.2)

F - kuchining Dekart koordinata o`qlari markaziga nisbatan olingan momentlari, quyidagi formuladan aniqlanadi (4.2 shakl ),

4.2 shakl.

Ushbu formulalardan foydalanib, Ox, Ou va Oz o`qlarga nisbatan olingan momentlarni yozamiz,

(4.3)

YUqoridagilarni aniqlagandan so`ng m - vektor momentning modulini aniqlash uchun, Pifagor teoremasidan foydalanamiz.

(4.4)


2.Kuchning o`qqa nisbatan momenti.


kuchni ixtiyoriy yo`nalgan Oz -o`qqa nisbatan momentini aniqlash zarur bo`lsin(shaklga qarang). Buning uchun shu o`qqa perpendikulyar bo`lgan birorta tekislik olamiz, va kuchni shu tekislikka proektsiyalaymiz, masalan bu xOu tekisligi bo`lsin, u holda  kuchining shu tekislikdagi proektsiyasi  vektorini hosil qilamiz. Endi shu  kuch vektorini O nuqtaga nisbatan olingan momenti,  kuchining Oz - o`qiga nisbatan olingan momenti deb hisoblanadi (shakl 4.3), yani

4.3 shakl.

va buning moduli quyidagicha aniqlanadi,

(4.5)

Kuchning o`qqa nisbatan momentining quyidagi xususiyatlari bilan tanishib o`tish lozim deb hisoblayman:

1. Agar kuch vektori biror o`qqa parallel bo`lsa, uning shu o`qqa nisbatan momenti nolga teng bo`ladi, chunki  .

   
   

2. Agar kuch vektorining tasir chizig`i biror o`qni kesib o`tsa, kuchning shu o`qqa nisbatan momenti nolga teng bo`ladi, chunki hh0 bo`ladi.

   
   

3. Agar kuch vektori bilan, o`q bir tekislikda yotsalar, kuchning shu o`qqa nisbatan momenti nolga teng bo`ladi, chunki 1) va 2) xususiyatlardan biri paydo bo`ladi.

   
   

Kuchning o`qqa nisbatan olingan momenti ham vektor qiymatdir, uni ham yuqoridagi kabi yozib chiqish mumkin, buni aniqlashni studentlarga havola qilamiz.

3.Teng tasir etuvchi kuchning momenti haqidagi Varing`on teoremasi.

Faraz qilaylik bir nuqtada (masalan A nuqtada) joylashgan ikkita  kuchlar berilgan bo`lsin, endi shu kuchlarni qo`shib ularning teng tasir etuvchisi ni aniqlagan bo`laylik.

4.4 shakl.

Endi ixtiyoriy bitta O nuqta tanlab olaylikda, so`ngra shu nuqtaga nisbatan  kuchining momentini, hamda shu nuqtaga nisbatan  kuchlarning momentlarini yig`indilarini olib ko`raylik.

Varing`on teoremasiga ko`ra, teng tasir etuvchi kuchning ixtiyoriy nuqtaga nisbatan olingan momenti, tashkil etuvchi kuchlarning shu nuqtaga nisbatan olingan momentlarining algebraik yig`indisiga teng ekan.

Isbot. Faraz qilaylik biror A nuqtaga qo`yilgan  kuchlarni O markazga nisbatan moment vektorlarining yig`indisi quyidagicha yoziladi,

(4.6)

SHu bilan, bu teorema isbot qilindi, uning afzalligi shundaki ko`p hollarda ayrim kuchlarning momentlarini to`g`ridan to`g`ri aniqlashda uning elkasini topish ancha murakkab bo`lishi mumkin. SHunday masalalarni echishda berilgan kuchni koordinata o`qlariga parallel bo`lgan tashkil etuvchilarga ajratilib, so`ngra ularning har birini berilgan markazga nisbatan momentlarini aniqlab algebraik ravishda (vektor yig`indi kabi emas) qo`shiladi.

4. 
   
   Juft kuch. Juft kuchning momenti.