Mavzu: Kupaytma, bulinma, yeg’indi va ayermani xosilasi

3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y).
Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r-tinchi va hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosilalarini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi:
f <sup>(n)</sup>(x), y<sub>xxx</sub>, y<sup>V</sup>, y, .
Shunday qilib, y = (y), y<sup>(4)</sup> = (y), . . . , y<sup>(n)</sup> = (y<sup>(n -1)</sup>).
Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin²x funk-siya uchun y = (sin²x) = 2sin x(sinx) = 2sin x cos x = sin2x, y = (sin 2x)=  = 2cos2x, y = (2cos2x) = - 4sin2x va hokazo.
Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:

f (x)	f ^(n)(x)
x^p	p(p-1)(p-2)…(p-n+1)x^p-n
e^x	e^x
e^kx	k^ne^kx
Lnx
sin kx	k^n sin(kx+ )
cos kx	k^n sin(kx+ )

y = f (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi:

d²y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial;
d³y = d(d²y) – uchinchi tartibli differensial;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dⁿy = d(d^{n -1}y) - n-tartibli differensial.
Agar y = f (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda:
d<sup>2</sup>y = y(du)<sup>2</sup>, d<sup>3</sup>y = y<sup>(3)</sup>(du)<sup>3</sup>, . . . , d<sup>n</sup>y = y<sup>(n)</sup>(du)<sup>n</sup>.
Agarda y = f (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki d²y = f (u) · (du)² + f (u) · d²u va hokazo.