Mavzu: Logarifmik differensiallash

Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=j(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo`lib, bu funksiyalar yordamida y=f(j(x)) murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin (bunda, albatta, xÎ(a,b) da u=j(x)Î(c,d) bo`lishi talab qilinadi).
Teorema. Agar u=j(x) funksiya xÎ(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=j(x) nuqtada hosilaga ega bo`lsa, u holda y=f(j(x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(f(j(x)))`=f`(u)×j`(x) (5.1)
formula o`rinli bo`ladi.
Isboti. u=j(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo`lganligi uchun uning x nuqtadagi orttirmasini (2.1) formuladan foydalanib
Du=j`(x)Dx+aDx (5.2)
ko`rinishda yozish mumkin, bu yerda Dx®0 da a®0.
Shunga o`xshash, y=f(u) funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini
Dy=f`(u)Du+bDu (5.3)
ko`rinishda yozish mumkin, bunda Du®0 da b®0.
So`ngi (5.3) tenglikdagi Du o`rniga uning (5.2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo`yamiz. Natijada
Dy=f`(u)(j`(x)Dx+aDx)+b(j`(x)Dx+aDx)= f`(u)j`(x)Dx+(f`(u)a+j`(x)b+ab)Dx
tenglikka ega bo`lamiz.
Agar Dx®0 bo`lsa, (5.2) tenglikdan a®0 va Du®0 bo`lishi, agar Du®0 bo`lsa, u holda (5.3) tenglikdan b®0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa Dx®0 da f`(u)a+j`(x)b+ab cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni g bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, Dy=f`(u)j`(x)Dx+gDx tenglik o`rinli. Bundan
= f`(u)j`(x)+g va =f`(u)j`(x) o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa y`= f`(u)j`(x) ekanligini isbotlaydi.
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu yerda y=u⁴, u= . Demak, y`=(u<sup>4</sup>)`× `= =4u<sup>3</sup> =8 .
Amalda (5.1) tenglikni
yoki y<sub>x</sub>`=y_u`u<sub>x</sub>`
ko`rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi oraliq o`zgaruvchi bo`yicha olingan hosila va oraliq o`zgaruvchidan erkli o`zgaruvchi bo`yicha olingan hosilalar ko`paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o`zgaruvchi u ga nisbatan y_u` marta tez, u esa x ga nisbatan u<sub>x</sub>` marta tez o`zgarsa, u holda y o`zgaruvchi x ga nisbatan y_u`u<sub>x</sub>` marta tez o`zgaradi, ya`ni y_x`=y<sub>u</sub>`u_x`.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo`lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o`rinli. Masalan, agar y=f(u), u=j(t), t=h(x) bo`lsa, u holda y_x`=y<sub>u</sub>`u_t`t<sub>x</sub>` tenglik o`rinli bo`ladi.