Mavzu: Masalalar yechishda yo’l ko’rsatishi mumkin bo’lgan belgi va mulohazalar

Masala yechish
Avvalo ,,matematik masala’’ terminining ma’nosini aniqlaylik.
Maktab matematika kursining har bir bo’limiga doir ,,masala’’ so’zi nima?. Unga ba’zi olimlar quyidagicha javob beradilar: ,, ma’lum faktlar (berilganlar) yordamida topilishi talab qilingan faktlar orasidagi munosabatni ifoda etish masala deb ataladi.
Masalaga bunday ta’rif berilganda ko’p masala va isbotlashlar unga kirmay qoladi. Masalaning to’liqroq ta’rifi quyidagicha: masala turli hildagi matematik savollar bo’lib, uning javobi uchun o’tgan nazariy materiallardan birorta natija, teorema yoki tariflarni soddagina qaytadan ishlab chiqish emas, balki ularni o’z o’rniga keltirib foydalanish orqali tegishli tegishli javobga ega bo’lishdir.
Sistemali ravishda masalalar yechib borish, nazariyani ongli va puxta o’zlashtirishga yordam beradi, uning amaliy qiymatini ko’rsatadi, shu bilan birga masala yechish o’quvchilarning mantiqiy tafakkurini, ijodiy tashabbusini, fahm-farostlarini tarbiyalaydi va ularga bir qancha zarur amaliy mahorat va malaka beradi. Masala yechishda turli maqsadlar ko’zda tutiladi. Ba’zi masalalar orqali biror nazariy qonun isbotlanadi. Undan biror konkret holda foydalanish yo’llari ko’rsatiladi.
Shuning uchun har bir geometrik masalani yechish biror geometrik teoramani isbotlash bo’lib chiqadi.
Ko’pincha masalalar yechish o’tilganlarni takrorlash yoki o’quvchilar matrealni qay darajada o’zlashtirganliklarini tekshirishdan iborat bo’ladi. Tuzilishiga qarab masala sodda va murakkab bo’ladi.
Sodda masalada shu o’tilayotgan kursga doir nazariy masalalardan (formula, qoida, va teoremalarni) bittasigina ishtirok etgan bo’ladi. Uni ba’zan misol ham deb ataladi. Bunda shart qilib keltirilgan jumla og’ir bo’lmasligi kerak.
Masalani yechishda bo’ladigan qiyinchilik jumlalarning o’zaro kombinatsiyasini tuzish, har hil almashtirishlar kiritish, har hil qo’shimcha shakl elementlarini yasashdan iborat bo’ladi. Ba’zan bularni bironta fo’rmulaga solish yoki matematik til bilan ifodalash qiyinchilik tug’diradi.
Masala va misol yechish nazariyani yaxshi o’zlashtirish yoki biror teoremaning amalda tatbiq etish yo’llarini mashq qilishdir. Umuman olganda masala yechishdan maqsad matematik tafakkurni o’stirish bo’lib, ijodiy tekshirish ishining birinchi formasidir.
Masala yechilgan bo’lishi uchun quyidagilar bo’lishi kerak:

1. 
   Xato bo’lmasligi; 2. Asoslangan bo’lishi; 3.Butun xarakterni o’z ichiga olgan
   

bo’lishi lozim. Bu 3 ta talab, albatta mavjud bo’lishi lozim. Agar bu talablardan birortasi bo’lmasa (masalan, masalaning yechimi to’g’ri bo’lib, asoslanmagan bo’lsa, yoki asoslangan bo’lsayu, ammo tugallangan bo’lmasa), unda yechim to’liq deb hisoblanmaydi.
Bundan tashqari, yechimni topishda quyidagilar bo’lishi talab qilinadi:

1. 
   Yechim mumkin qadar sodda bo’lsin;
   
2. 
   Yetarli darajada tartibga solingan bo’lsin;
   
3. 
   Yechish uchun olingan yo’l mumkin qadar ravshan bo’lsin;
   
4. 
   Yechim umumlashtirilgan bo’lsin.
   

Bu talablarni ko’zdan kechiraylik.

1. 
   Xatosiz yechish:
   

Bizda dastlab quyidagi savol tug’uladi. Topilgan yechimning to’g’riligiga qanday ishonch hosil qilish mumkin. Bu savolni ko’pincha o’quvchilar darrov kitobda berilgan javobga qarash bilan hal etadilar. Bu juda yaxshi, chunki kuch va vaqt tejaladi. Lekin o’quvchilarga o’z-o’zini tekshirishni o’rgatish lozim. Bazan masalalarning javobi bo’lmasligi mumkin. Bazi kitoblardagi berilgan javoblarda maatba xatosi bo’lib, javob va ko’rsatmalar yanglish bo’lishi mumkin. Shuning uchun o’quvchi (masala yechuvchi) o’zi foydalangan formula va qoidalarni to’g’ri ishlatilmaganligini tekshirib ko’rishi, olingan javobning tenglama va masala shartiga muvofiq kelishi yoki hosil qilingan yechimning talablarini qanoatlantirishini ko’zdan kechirishi, shakllarning aniqligini tekshirib ko’rishi va shunga o’xshash ishlarni bajarishi lozim.
Masala yechuvchi kelib chiqqan xatoning sababini aniqlab, agar bu xato nazariyaning bo’shligi yoki boshqa harakterli holler natijasida kelib chiqqan bo’lsa, bu aniqlangan kamchilikni yo’qotishga harakat qilishi zarur.

2. 
   Masalani asoslab berish:
   

Masala yechimining to’g’riligini isbotlab borish, masalaning to’g’ri yechilganligini aniqlab beradi. Ko’pincha masala yechuvchi masalani yechib qo’ygan bo’lsada, uni tegishli dalillarga suyanib isbotlab bera olmaydi. Ba’zan o’qituvchi ham bunga ojizlik qilib qoladi.
Asoslash, o’tilgan ma’lum qoida, teorema va natijalarga suyanish yoki mantiqiy muhokama yuritishdan iboratdir. Ishni bajaruvchi kishi har bir bajargan va bajarayotgan ishini nima uchun shunday bo’layotganligini bilishi kerak. Ayniqsa bu
hol geometrik masalalar yechishda muhim o’rin tutadi.

3. 
   Yechishdagi hamma holatlar va harakterlarni ko’zdan kechirish:
   

Masala yechilib, bir javob hosil qilingandan keyiin yana boshqacha javobi ham bo’lishi mumkinmi yoki yo’qmi ekanligini tekshirib ko’rish, agar boshqa javoblari bo’lsa, ularni aniqlash va qanday shartda bu javob hosil bo’lishini ko’rsatish lozim. Ayniqsa, yasashga doir geometrik masalalar yechilgandan so’ng uni tekshirish talab qilinadi.

4. 
   Osonroq yechilish yo’lini qidirish:
   

Oddiy masalaning yechimini tartibga solish talab qilinmaydi. Ammo har hil shakllar yasash va turli nazariy materiallar hamda algebraik shakl almashtirishlar qatnashadigan murakkab masalalarning yechimini albatta tartib bilan yozib chiqish talab qilinadi.
Masala yechishda ilgari tartibsiz aralash-quralash holda qora (черновик) ga yozib tashlovchi, shakllarni ham tartibsiz chizib, masalani yechib bo’lgandan so’ng uni tartibga solib, shakllarni ham diqqat bilan qaytadan chizib chiquvchilar bo’ladi. Birinchi galdayoq barcha ish tartib bilan bajarilsa, ishlovchining to’g’ri fikrlashi uchun imkoniyat yaratiladi, shakl va algebraik ifodalar orasidagi munosabatlarni topish osonlashadi.
Yechimni tartib bilan yozib borishda quyidagilarni tavsiya etamiz:

1. 
   Yechimda oq va qorani juda e’tibor bilan yozib borish lozim. Raqamlar,
   

yozilgan ifodalar aniq va ravshan bo’lsin. Shakllar puxta-aniq qilib chizilsa, o’rinsiz yozilgan va yangilash hisoblashlar bo’lgan taqdirda yaxshilab o’chirib tashlash kerak. Har bir yangi material-mulohaza, ayrim bosqichni ishlaganda ajratib olib, ishlash, alohida qilib yozib qo’yish kerak;

2. 
   Yozish ikki hi bo’ladi: biri qisqacha yozish bo’lib, unga birinchi, ikkinchi , …
   

va hokazo ish tartibi ko’rsatib boriladi. Ikkinchi hil yozish to’la yozish bo’lib, nega
bundayligining sabablari, bog’lanishi hamda undan kelib chiqadigan natijalarning hammasi to’laligicha yozib boriladi. Qisqacha yozishda javobning qaysi yo’l bilan kelisb chiqishi tushunilsa-da, to’la yozuvni har kim, har vaqt o’qib tushuna oladi. Masalaning yechish usulini ko’rsatib borish tushunishga yordam beradi. Qisqa yozishda oradagi ishda yo’l qo’yilgan ba’zi bir xato, yanglish muhokamalarni izlashda uni topish ishi qiyinlashadi;

3. 
   To’la yozish ko’p vaqt olsa ham fikrdagi tasavvurni (muhokama qilishni) aniq
   

ifodalashga o’rgatadi. Shunday bo’lsada, vaqtni ko’p sarf qilmaslik uchun qisqaroq yozuvga sekin-asta o’rganib, yozuvni kamaytirishga harakat qilish kerak;

4. 
   Qoradan oqqa ko’tarish ishiga qarshi kurashish kerak, chunki bu ish ko’p vaqt
   

oladi. Ba’zi muhim masalalarni tartibga solib ko’chirishdan qutulish uchun o’ylab tuzilgan qisqa yozuv bilan to’la yozish yo’llari ko’rsatilganmasalalar namunasini ko’zdan kechirib o’tish yaxshi bo’ladi. Masala yechishda har doim bir hil shakldagi ishlash usulidan foydalanish va unga mahkam yopishib olish yaramaydi (xatto ba’zi o’qituvchilar o’quvchilar masalalarni u bilgandan boshqa usulda yechsa, ularga nisbatan ma’sulyatsizlik bilan qaraydilar). Har bir kishining o’zi ijod etishga imkon berish kerak. O’quvchilar yuqori sinfga o’tgan sari mustaqil fikrlashga ko’nikib, to’la yozish yo’llarini tanlay oladi va yangi yechish yo’llarini izlashga qiziqadi. Shunday ekan har bir kishidan mustaqillik va ijodchilikni talab etish kerak;

5. 
   Yechimga olib keladigan aniq yo’l.
   

Ba’zi masalani yechish juda sun’iy bo’ladi, maxsus usullarga asoslanib, umumiy nazariyaga aloqasi bo’lmay qoladi. Bunday usullarga qarshi chiqish yaramaydi. Unga matematik ijod deb qarash kerak.
Ba’zan kam tajribali kishilar, ilodiy ishlangan qiyin masalalar yechimini ko’rganda hayratda qoladilar. Buning hech qanday ajablanarli joyi yo’q. Ko’p masala yechib, malaka hosil qilinsa, turli mulohazalar, har hil fikrlar tug’ilib boraveradi; 6) Ayrim masalalarni umumlashtirish.
Masalalarni umumlashtirish foydalidir. Har qanday masalani yechgandan so’ng masalaning ifodasiga turli son qiymatlar qo’yib tekshirib chiqish yaxshi bo’ladi.
Masalan, tomonlari 3, 4 va 5 bo’lgan misr uchburchagi uchun . Ixtiyoriy butun va musbat x uchun bo’ladi, bunda tomonlari butun sonlar bilan ifodalangan yangi Pifagor uchburchaklari topish usuli kelib chiqadi. Matematik nazariya amalda amalda tatbiq etilmasa (masala, misol yechilmasa), mustaxkamlanmagan bo’ladi.
O’quvchilar bilan ishlash qanday sharoitda borishiga e’tibor berish lozim. Buning uchun dastlab o’qituvchi tipik masalalardan namunalar ko’rsatish kerak. Bu ish puxta tayyorlangan holda savol-javob bilan puxta o’ylangan metodda (o’qituvchi rahbarligida) olib boriladi. Bunda o’qituvchi fikrni ustalik bilan tartibga solishi, tushunarli qilib bayon etishi lozim. Masalaning sharti aniq va ravshan hamda tartibli qilib berilishi, hamda savollar, detallar o’quvchilarga tushunarli bo’lganligiga ishonch hosil qilishi kerak. Buni aniqlash uchun o’quvchilarga materialni qaytadan takrorlatib chiqish foydali bo’ladi.
Masalaning hammasini diktovka qilib yozdirib chiqish kerak emas. Bunga ko’p vaqt ketadi. Berilgan sonlarni qisqacha yozib qo’yish kifoya. So’ngra masalani qanday yechish plani muhokama qilinadi. Nihoyat, bu plan amalga oshiriladi. Ba’zan natijaga tez olib keluvchi yechish usulini taklif etuvchilar bo’lsa, unga to’sqinlik qilmaslik kerak. Yechishning turli yo’llarini ko’rsatib, ulardan eng qulayini tanlab olish foydalidir.
Qiyin masalani o’qituvchi yechib bergandan keyin bir o’quvchi uni takrorlashi, yoki o’quvchilar yechib bo’lgandan so’ng o’qituvchi yaxshilab tartibga solib qaytadan tushuntirib bersa yaxshi bo’ladi.
O’quvchi doskada masala yechganda har bir qadam muzokara-muhokama orqali olib borilsa, bu masalani yechishda o’quvchilar aktiv ishtirok etadi. Masalalar yechishning ko’rib o’tilgan usullarini puxta o’rganish hamda mustahkamlash maqsadida unga mustaqil ish beriladi. Unga berilgan ish, sinfda ishlangan ishlarning
davomi, ya’ni unga o’xshash bo;lishi shart. Yangi materiallar ehtiyotlik bilan beriladi, mustaqil ishlash uchun qiyinlik qiladigan murakkabroq ishlar keyinchalik beriladi.
Uyga beriladigan har bir misol va masala o’qituvchi tomonidan tanlab olingan hamda yaxshi o’rganilgan bo’lishi kerak. Masala va misol tanlashda o’rta darajadagi o’quvchilarni nazarda tutish, juda oson ham juda ham qiyin masalalarni olmay, ko’pchilik uchun o’rtacha qiyinchilikdagi masalalarni tanlash zarur. Agar hamma uchun og’ir bo’lgan masala berilsa, o’quvchilar ishlay olmaydi, bu bilan ularning masala yechishga bo’lgan qiziqishi yo’qoladi.
Uy ishini tekshirishda o’quvchilar yecha olmagan masalalarni o’qituvchi ishlab, tushuntirib berishi zarur. Agar uy ishini bir necha o’quvchi ishlab kelgan bo’lsa, ishlagan o’quvchilardan birini doskaga chiqarish va masalaning yechish yo’lini oshqalarga ko’rsatib o’tish lozim.
Uy ishini tekshirishda o’quvchilarning ishini tanqidiy o’rganish, yozma berilgan ma’lumotlarni yaxshilab ko’zdan kechirish lozim, bunda o’quvchilar yo’l qo’ygan kamchilik va xatolarini tuzatish, kerakli qo’shimchalar bo’lsa kiritish yoki boshqa yo’l bilan ishlab ko’rsatish kerak.
O’tilgan mavzuning qay qarajada o’zlashtirilganligi yangi masalalar ishlash orqali aniqlanadi. Masala ishlashda butun sinf ishtirok etsin, bunda har bir o’quvchi o’z fikr mulohazasi bilan qatnashishi kerak. Sinfda ishlanayotgan ishga o’quvchilar orasida tushunmaydiganlar bo’lmasligi lozim, agar bundaylar uchrab qolsa buni normal hol deb bo’lmaydi. Hammaning tushunib borishga haraakat qilishi zarur. Sinfda ko’pchilikka ma’lum bo’lgan material ustidaa vaqt o’tkazish juda ham zerikarli ishdir.
Og’zaki hisoblash ishi masala ishlashda katta o’rin tutadi. Algebraik almashtirish arifmetik amallarni og’zaki bajarishdan tashqari geometrik shakllar ustidagi boglanish, munosabatlarda ham og’zaki ish olib borish diqqatga sazovordir. Ba’zan yuqori sinflarda masala yechishda oddiy arifmetik hisoblashlarni ham doskaga yozib
hisoblashadi. Bu, og’zaki hisoblashga hech bir yo’l bermaslik degan so’zdir.
Og’zaki hisoblash ikkiga: qisman og’zaki hisoblash va to’liq og’zaki hisoblashga bo’linadi. To’liq og’zaki hisoblashda berilganlar hamda hisoblash natijalarining hammasi og’zaki bajariladi. Hech nars yozilmaydi.
Qisman og’zaki hisoblashda berilganlar bilan ohirgi natijalargina doskaga yoki daftarga yoziladi. Og’zaki hisoblashdan ko’pincha oson masalalarni yechishda foydalaniladi. Bu masalalarni ongli va mustaqil ravishda ishlashga o’rrgatadi. Murakkab masalalar yechishda oraliq hisoblashlarni og’zaki bajarishni unutmaslik kerak. Matematikaning hamma sohasida undan foydalanish lozim.
Masalaada berilgan shakllarni chizishda, shartga qanchalik javob berishini tekshirib, har bir navbatdagi ishni shaklga moslab muhokama qilish, o’rtadagi munosabatlarni izlab topish zarur. Yechilgan tayyor masalalarni yaxshilab o’rganish bizning og’zaki bayon qilish qobiliyatimizni taraqqiy ettiradi. Kelgusida o’zimizning mustaqil ishlashimizga yo’l ochadi.
Ko’rsatmalarga e’tibor etsak, bizga shakl yoki berilganlar orasida qanday aloqa borligi bayon ayon bo’ladi.