Mavzu: n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar. Langranjning o’zgarmasni variantlash usuli Reja

n-tartibli bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglamaning yechimini topishning Lagranch usuli
Agar (2) bir jinsli differensial tenglamaning F.Y.S ma’lum bo‘lsa, u holda (1) bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini Lagranch (o‘zgarmasni variyatsiyalash) usulidan foydalanib topish mumkin. Buning uchun (1) bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ushbu
(16)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda - hozircha no’malum funksiyalar. Endi, funksiyalarni shunday tanlaymizki natijada ushbu
, ( )
munosabat bajarilsin. Bundan funksiyalarni aniqlash uchun quyidagi (n-1) ta algebreik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
, (17)
Ushbu hosilalarning ( ) ifodalarini (1) differensial tenglamaga qo‘yib, larga nisbatan, yana bir tenglamani olamiz:
(18)
Bunda funksiyalar (2) differensial tenglamaning yechimlari
bo‘lgani uchun , ,…, munosabatlar o’rinli bo‘ladi. Shuning uchun (18) tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi:
(19)
Hosil bo‘lgan (17), (19) algebraik tenglamalar sistemasidan larni topish mumkin. Bu sistemaning asosiy determinanti F.Y.S dan tuzilgan vronskiyan bilan bir xil. Kramer qoidasiga asosan quyidagi

tengliklarga ega bo‘lamiz. va funksiyalarning uzluksizligidan
, (20)
formulaga ega bo‘lamiz. Bu yerdagi integral ushbu, funksiyaning boshlang‘ichi, ya’ni
,
-ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar. (20) tenglik orqali topilgan larni (16) formulaga qo‘yib, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
. (21)

Ayrim o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamalar.
I. Bir jinsli bo‘lmagan ushbu
(1)
ko‘rinishdagi chiziqli differensial tenglama berilgan bo‘lsin. Bu yerda
(2)
berilgan sonlar.
1-hol. Aytaylik soni ushbu
(3)
xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmasin, ya’ni bo‘lsin. Bu holda (1) differensial tenglamaning xususiy yechimini
(4)
ko‘rinishda izlaymiz. Bunda
(5)
-hozircha noma’lum sonlar.
Shartga ko‘ra bo‘lgani uchun sonlarni shunday tanlaymizki, natijada quyidagi
,
ya’ni
(6)
munosabat bajarilsin.
Oldingi 27-paragrafdagi (14), ya’ni ushbu
(7)
formulaga asosan (6) tenglikning chap tomonini hisoblaymiz.



Yuqoridagi (6) tenglikka ko‘ra, ushbu

munosabatga ega bo‘lamiz. Bu ko‘phadlarning tengligidan foydalanib, -noma’lumlarga nisbatan, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(8)
Bu sistemaning asosiy determinantini hisolaymiz:

Shuning uchun bu tenglamalar sistemasining yagona yechimi mavjud. Endi (8) sistemani yechib
(9)
va hokazo.
Demak, qaralayotgan holda (4) ko‘rinishdagi yechimning tarkibidagi barcha noma’lumlar (9) formulalar orqali aniqlanadi.
2-hol. Aytaylik soni (3) xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo‘lsin, ya’ni
(10)
U holda, (7) formula ushbu
(11)
ko‘rinishni oladi. Bu tenglikning o‘ng tomoni –darajali ko‘phaddan iborat. Shuning uchun (1) differensial tenglamaning xususiy yechimini
(12)
ko‘rinishda izlaymiz. (12) tenglik orqali aniqlangan y(x) funksiyani (1) differensial tenglamaga qo‘yib noma’lumlarni shunday tanlaymizki, natijada quyidagi
(13)
munosabat o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni chap tomonini (10) va (11) munosabatdan foydalanib hisoblash mumkin:
(14)
(14) va (13) tengliklarning o‘ng tomonlarini tenglashtirib, noma’lumlarga nisbatan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz:
(15)
Bu sistemaning asosiy determinanti

bo‘lgani uchun, u yagona yechimga ega bo‘ladi.
Shunday qilib, agar soni xarakteristik tenglamaning r karrali ildizi bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi (12) ko‘rinishda bo‘lar ekan.
II. Agar (1) differensial tenglama ushbu
(16)
ko‘rinishda bo‘lsa, u holda uning quyidagi
(17)
ko‘rinishdagi xususiy yechimi mavjud. Bu yerda mos ravishda darajali berilgan ko‘phadlar. va berilgan haqiqiy sonlar. Bundan tashqari kompleks soni xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi. Agar kompleks soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, u holda k=0 deb olinadi. lar -darajali ko‘phad. (17) ko‘rinishdagi yechimning mavjudligini ko‘rsatish uchun ushbu

Eyler formulalaridan foydalanib, oldingi o‘rganilga holatga keltiriladi.