Mavzu: n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar. Langranjning o’zgarmasni variantlash usuli Reja

Mavzu: n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar. Langranjning o’zgarmasni variantlash usuli

Reja:
1. n-tartibli bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglama.
2. Xususiy yechimni topishning Koshi usuli
3. Langranjning o’zgarmasni variantlash usuli

n-tartibli bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglama.

Ushbu
(1)

bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamani qaraylik. Shu bilan bir qatorda quyidagi
(2)
bir jinsli differensial tenglamani ham qaraymiz. Bu yerda
(3)
Teorema-1. Agar funksiyalar (2) differensial tenglamaning F.Y.S dan iborat bo‘lib, funksiya (1) differensial tenglamaning
birorta xususiy yechimi bo‘lsa, u holda (1) differensial tenglamaning ixtiyoriy
yechimi
(4)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Isbot. Ushbu
(5)
ayirmani qaraymiz. Teorema shartiga ko‘ra

munosabatlar o‘rinli. Bu tangliklardan foydalanib L[z] ifodaning qiymatini hisoblaymiz:

Bundan o‘z navbatida z(x) funksiya (2) differensial tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun z(x) funksiya (2) bir jinsli differensial tenglamaning { } =F.Y.S orqali ifodalanadi:
(6)
(5) va (6) tengliklardan ushbu

tasvir kelib chiqadi.

Xususiy yechimni topishning Koshi usuli

Endi, (1) bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning - xususiy yechimlarini topish bilan shug‘ullanamiz.

Ta’rif-1. Quyidagi
(7)
(8)
shartlarni qanoatlantiruvchi K(x,t) funksiyaga (2) bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi deyiladi. Bu yerda

Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi Koshi teoremasiga asosan (2) differensial tenglamaning Koshi funksiyasi mavjud va yagonadir.
Aytaylik, K(x,t) (2) bir jinsli differensial tenglamaning Koshi funksiyasi bo‘lsin. Agar funksiyalar (2) differensial tenglamaning F.Y.Sni tashkil qilsa quyidagi
(9)
tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu (9) funksiyani (8) boshlang‘ich shartlarga qo‘yib - o‘zgarmaslarning qiymatini topamiz:
(10)
Bu yerda W(t)-Vronskiy determinanti, esa elementning algebraik to‘ldiruvchisi. Shunday qilib (9) va (10) tengliklardan K(x,t) Koshi funksiyasining aniq ko‘rinishini topamiz:
(11)
Teorema-2. Agar K(x,t) funksiya (2) differensial tenglamaning Koshi funksiyasi bo‘lsa, u holda ushbu
(12)
funksiya (1) differensial tenglamaning
(13)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi bo‘ladi.
Isbot. Yuqoridagi (12) tenglikni ketma-ket n marta differensiallasak va (8) boshlang‘ich shartlardan foydalansak quyidagi
(14)

munosabatlarga ega bo‘lamiz. Bu tasvirlardan funksiya (13) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Endi (12) va (14) tasvirlardan foydalanib funksiya (1) differinsial tenglamaning xususiy yechimi ekanligini ko‘rsatamiz:

Shunday qilib, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi uchun quyidagi
(15)
Koshi formulasi o‘rinli bo’lar ekan.