Mavzu: Noyevklid geometriyalar

Birinchi marta Lobachevskiy geometriyasining yuzalarda amalga oshirilishi 1868 yilda italyan matematigi Beltrami tomonidan asos solingan (3-rasm). U Lobachevskiy tekisligining bo'lagidagi geometriya doimiy manfiy egrilik yuzalarida geometriyaga to'g'ri kelishini payqadi, eng oddiy misoli psevdosfera. Biroq, bu erda faqat geometriyaning mahalliy talqini berilgan, ya'ni butun Lobachevskiy tekisligida emas, balki cheklangan maydonda.

• Birinchi marta Lobachevskiy geometriyasining yuzalarda amalga oshirilishi 1868 yilda italyan matematigi Beltrami tomonidan asos solingan (3-rasm). U Lobachevskiy tekisligining bo'lagidagi geometriya doimiy manfiy egrilik yuzalarida geometriyaga to'g'ri kelishini payqadi, eng oddiy misoli psevdosfera. Biroq, bu erda faqat geometriyaning mahalliy talqini berilgan, ya'ni butun Lobachevskiy tekisligida emas, balki cheklangan maydonda.

Uch yil o'tgach, 1871 yilda nemis matematigi Klein boshqa, to'laqonli modelni o'ylab topdi (4-rasm). Undagi tekislik aylananing ichki qismi, to'g'ri chiziq - uchlari bundan mustasno, xord, nuqta - doira ichidagi nuqta. Ularning orasidagi tegishlilik odatiy Evklid ma'nosida tushuniladi, ammo bu erda Evklidning V postulati endi bajarilmaydi, lekin Lobachevskiy aksiomasi bajariladi: P nuqtadan a chiziqni kesib o'tmaydigan cheksiz ko'p chiziqlar o'tadi. Shuningdek, aksiomaning barcha natijalari qondiriladi.

• Uch yil o'tgach, 1871 yilda nemis matematigi Klein boshqa, to'laqonli modelni o'ylab topdi (4-rasm). Undagi tekislik aylananing ichki qismi, to'g'ri chiziq - uchlari bundan mustasno, xord, nuqta - doira ichidagi nuqta. Ularning orasidagi tegishlilik odatiy Evklid ma'nosida tushuniladi, ammo bu erda Evklidning V postulati endi bajarilmaydi, lekin Lobachevskiy aksiomasi bajariladi: P nuqtadan a chiziqni kesib o'tmaydigan cheksiz ko'p chiziqlar o'tadi. Shuningdek, aksiomaning barcha natijalari qondiriladi.

1882 yilda Lobachevskiy geometriyasining yana bir modeli fransuz matematigi Puankare tomonidan taqdim etilgan (5-rasm). Lobachevskiy tekisligining rolini ochiq yarim tekislik P, to'g'ri chiziqlar rolini uning tarkibidagi yarim doiralar, markazlari p

• 1882 yilda Lobachevskiy geometriyasining yana bir modeli fransuz matematigi Puankare tomonidan taqdim etilgan (5-rasm). Lobachevskiy tekisligining rolini ochiq yarim tekislik P, to'g'ri chiziqlar rolini uning tarkibidagi yarim doiralar, markazlari p
• chegara chizig'ida va bu chiziqqa perpendikulyar nurlar o'ynaydi. "To'g'ri" nuqta ikkita nurning boshlanishi bo'lib xizmat qiladi, ikkita yarim doira yoylari (cheklangan uchlari bilan). Chegara chizig'i ham bundan mustasno.