Mavzu: Nyuton binomi formulasinig isboti. Binomial koeffisientlar xossalari

Nyuton binomi

formula bir nechta natijaga ega:

1. 
   
   
2. 
   simmetriya qoidasi
   
3. 
   - Paskal uchburchagi
   

Oxirgi formula ni ketma-ket hisoblashga imkon beradi. Haqiqatan,

• 
  p =2 va t=1 da:
  
• 
  p=3 va t=1 da:
  
• 
  p=3 va t=2 da:
  
• 
  t=4 va t=1 da:
  
• 
  t=4 va t=2 da:
  
• 
  t=4 va t=3 da: va h.k.
  

Agar sonlarni quyidagi uchburchkkli jadvalga joylashtirsak




. . . . . . . . . . . .,
U holda harbir satr boshida va oxirida birlar turadi. Qolgan joylarda har bir o‘rinda ulaning ustida turgan ikkita son yig‘indisitga teng son yoziladi. Bunday jadval Paskl uchburchagi deyiladi. Birinchi o’n satri quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Paskal uchburchagi 3-chi va 4-chi satrida joylashgan sonlar a+b ikihadni kvadratga va kubga ko‘targanda hosil bo‘ladi. Haqiqatan,
(a+b)²=a²+2ab+b² ва (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
formulalarni
(a+b)²= a²+ ab+ ²
(a+b)³= a³+ a²b+ ab²+ ³
shaklda yozish mumkin. Xuddi shunga o‘xshash formulalarni binomning ixtiyoriy natural darajasi uchun ham yozish mumkinligini isbotlash mumkin, ya’ni

Yig‘indi belgisidan foydalanib bu formulani quyidagicha yozish mumkin:
- Nyuton formulasi
Nyuton formulasining o‘ng qismi binomning natural darajasining yoyilmasi deyiladi. koeffitsientlar binomial koeffitsientlar deb ataladi.