Mavzu. Om va Kirxgof qonunlarining operator shakli. Operator sixema. Yoyish teoremasi Dyuamel integrali

Mavzu. Om va Kirxgof qonunlarining operator shakli. Operator sixema. Yoyish teoremasi Dyuamel integrali.
O'tkinchi jarayonlarni klassik usul bilan hisoblashning asosiy qiyinchiligi shundaki, zanjir murakkablashgan sari uning muvozanat holatini belgilovchi differensial tenglamaning tartibi orta boradi, bu esa integrallash doimiylari larni aniqlash bilan bog'liq bo'lgan hisoblash ishlarining qiyinlashishiga olib keladi. Bu holatni bartaraf etish uchun chiziqli differensial tenglamalarni yechishning simvolik usulidan foydalanish mumkin. Bu usulni 1862 yilda rus olimi M.E. Vashenko-Zaxarchenko "Simvolik usul va uni chiziqli differensial tenglamalarni integrallashdagi tatbiqi" nomli monografiyasida birinchi bo'lib taklif etgan. Chiziqli elektr zanjirlardagi o'tkinchi jarayonlarni hisoblashga bu usulni qo'llashni XIX asrning oxirida ingliz muhandisi O. Xevisayd taklif etgan. Hozirgi vaqtga kelib Xevisaydning operatsion hisoblash usuli undan ko'ra umumiyroq va to'laroq usul - Laplas o'zgartirishlari usuliga o'rnini bo'shatib bergan. Bu usulning asosiy mohiyati shundan iboratki, vaqt sohasida (oblastida) berilgan funksiya ni integrallash va differensiallash o'rniga uning operator tasviri deb ataladigan bilan almashtirib, algebraik muvozanat tenglamasiga o'tiladi va u algebraik amallar asosida yechiladi. Agar ning vaqt sohasidagi ifodasi berilgan bo'lsa, u holda uning tasviri kompleks sohada topiladi. So'ngra algebraik amallarni qo'llab, kompleks sohada yechim topiladi, keyin yana funksiyaning vaqt sohasiga qaytiladi. Bunda Laplasning to'g'ri va teskari o'zgartirishlaridan foydalaniladi.
Shunday qilib, original deb ataluvchi har qanday vaqt funksiyasi ni unga mos (ekvivalent) bo'lgan kompleks o'zgaruvchi argumentli funksiyasiga almashtirish mumkin. Shu bilan birga haqiqiy (original) funksiya o'zining tasvir funksiyasi ga teng emas, balki unga mos bo'lishini esda tutish zarur. Bu moslik matematikada quyidagicha ifodalanadi:
yoki bu yerda - moslik belgisi.
Masalan, logarifm - sonning tasviri. Algebradan ma'lumki, ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish, ildizdan chiqarishda logarifmdan foydalaniladi. Haqiqatdan, ko'paytirishni logarifmda qo'shish bilan almashtiramiz, bo'lishni esa - logarifmlarning ayirmasi bilan almashtirib, murakkab masalalarni oddiy masalaga aylantirishimiz mumkin. Shunday qilib, logarifmlashni sonning tasviri deb qarash mumkin.


Original va tasvir
Sinusoidal funksiyaning kompleks tasviri. Vaqt sohasida berilgan funksiya (original) (tasvir). Vaqt bo'yicha sinusoidal o'zgaruvchi funksiyani uning tasviri bilan almashtirish matematik amallarni ancha soddalashtiradi.
Operator usul - vaqt sohasida berilgan funksiyani kompleks sohasida tasvirga aylantirishga asoslangan. Operator usulda o'zgaruvchan vaqt , yangi o'zgaruvchi kompleksi bilan almashtiriladi, bu yerda -operator vaqt funksiyasidan kompleks o'zgaruvchili funksiyaga o'tish Laplas o'zgartirishi, ya'ni Laplas integrali orqali bajariladi. Shunday qilib, operator usuli yordamida o'tkinchi jarayonlarni hisoblash Laplas o'zgartirishlariga asoslangan.
Operator usulida hosila ko'paytmaga, integrallash amali esa bo'linmaga keltiriladi. Bu esa differensial tenglamalarni integrallash masalasini osonlashtiradi.
Laplas o'zgartirishida funksiya original, funksiya esa uning tasviri deyiladi. Ular quyidagi integral bilan bog'langan:

Elektrotexnikaning nazariy asoslari kursida o'rganiladigan funksiyalardan ularning tasvir funksiyalarini Laplas integrali yordamida topish mumkin.
Tasvirni operator ga ko'paytirsak, ya'ni - Karson-Xevisayd o'zgartirishiga ega bo'lamiz.
Oddiy funksiyalarni Laplas formulasi bo'yicha o'zgartirish. Berilgan oddiy funksiya bo'lganida, uning tasviri Laplas integraliga asosan:
,
ya'ni o'zgarmas kattalikning tasviri shu kattalikni operator ga bo'linganiga teng:

Ko'rsatkichli (eksponensial) funksiya ning tasviri,

ya’ni
Agar bo'lsa, unda yoki ga ko'paytirib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Quyida elektrotexnikada keng qo'llanadigan funksiyalar tasvirlari berilgan:



va h.k.
Shunday qilib, o'tkinchi jarayonlarni hisoblashda ko'p uchrab turadigan vaqt funksiyasi va uning tasvirini jadval tarzida ko'rsatish mumkin. Tasvirlar bilan tegishli amallar bajarilganidan keyin ularning originallariga Laplasning teskari o'zgartirishi orqali qayta o'tiladi. Unga ko'ra: