Mavzu. O`tkinchi jarayonlarni operator usulda xisoblash. Tasvir va original tushunchalari. Laplas o`zgartirishi

Funksiya hosilasining tasviri
Vaqt sohasida berilgan funksiya va uning kompleks sohadagi tasviri ma'lum bo'lsin. Funksiya hosilasi ning tasvirini berilgan boshlang'ich shartda aniqlaymiz.
Laplas o'zgartirishini quyidagicha yozish mumkin:
.
Bu integralni hisoblash uchun uni bo'laklarga ajratamiz, ya'ni bo'laklab integrallaymiz:

va deb belgilab,
.
Agar, bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Shunday qilib,
yoki .


Induktiv elementdagi kuchlanishning tasviri

Induktiv elementdan o'tayotgan tokning tasviri bo'lsin. Induktiv elementdagi kuchlanish:

Funksiya hosilasining tasviriga asosan , bu yerda - tokning paytdagi qiymati.
, agar bo'lsa, u holda bo'ladi.


Funksiya ikkinchi hosilasining tasviri

Xuddi shunga o'xshash, original ning ikkinchi hosilasi quyidagi tasvirga ega ekanligini ko'rsatish mumkin:

Funksiya dan hosila olsak,
bo’ladi.


Integralning tasviri
Umumiy holda integralning tasviri:
.


Sig'im elementidagi kuchlanishning tasviri. Kondensator qoplamalari orasidagi kuchlanish . Umumiy holda esa:
,
bu yerda da kondensatordagi kuchlanish, ya'ni boshlang'ich shart ham hisobga olingan. Yuqoridagi formulaga asosan:
.
- doimiy kuchlanish tasviri esa

Shuning uchun kondensatordagi kuchlanishning tasviri:



Om va Kirxgof qonunlarining operator shakli

5.18-rasmda keltirilgan zanjir a va b tugunlar orasidagi R, L, C elementlari EYuK manbai ga ulangan. paytda SA kalit ulagandagi o'tkinchi tokni aniqlaymiz.

S A - kalit ulanganda sxemada o'tkinchi jarayon sodir bo'ladi va tok ma'lum qonun bilan o'zgaradi. Shoxobchadagi kommutatsiyagacha bo'lgan tok va kondensatordagi kuchlanish
.
Kommutatsiyadan keyingi holat uchun a tugunning potensialini b tugunning potensiali orqali aniqlasak:



Agar bo’lsa, u holda
.
Bu tenglamaga Laplas o'zgartirishini qo'llaymiz. Laplas o'zgartirishi chiziqli amal bo'lganligi uchun yig'indining tasviri tasvirlar yig'indisiga teng bo'ladi:


Shunday qilib,

Bu tasvirdan ko'rinib turibdiki, integro-differensial tenglama algebraik tenglama bilan almashtiriladi. Bu tenglamadan tok tasviri ni topamiz:
,
bu yerda -zanjirning a va b tugunlari orasidagi to'la qarshilikning operator shakli.
Bu qarshilikning tarkibi kompleks qarshilikning ifodasi bo'lib, u faqat ni operator bilan almashtirishdan hosil bo'ladi.
Yuqoridagi tenglama zanjirning bir qismi uchun operator shaklidagi Om qonunidir. Bu tenglama nol bo'lmagan boshlang'ich shart uchun yozilgan. Bunda had kommutatsiyagacha bo'lgan davrda induktiv g'altak hisobiga hosil bo'lgan kuchlanish manbai sifatida qaraladi. - had kondensatorda kommutatsiyagacha to'plangan elektr maydonining energiyasi hisobidan hosil bo'lgan kuchlanish manbai sifatida qaraladi. Shunday qilib, 5.19-rasmda a va b tugunlar orasidagi zanjir qismining ekvivalent operator sxemasi keltirilgan. Bunda - operator qarshiliklar, EYuK manbai tokning yo'nalishi bilan mos, EYuK manbai - tokning yo'nalishiga teskari.





Kirxgof birinchi qonunining operator shakli

Toklarning oniy qiymatlari uchun Kirxgof birinchi qonunining ifodasi:

.
Operator ko'rinishda esa
yoki