Mavzu. O`tkinchi jarayonlarni operator usulda xisoblash. Tasvir va original tushunchalari. Laplas o`zgartirishi

Mavzu.O`tkinchi jarayonlarni operator usulda xisoblash.Tasvir va original tushunchalari. Laplas o`zgartirishi.

Algebraik shakldagi tenglamalar soni izlanayotgan erkin toklar soniga teng. Faraz qilaylik, (5.26) sistemaning va larga nisbatan yechimi quyidagicha aniqlanadi:

,
bu yerda -sistemaning determinanti, ya'ni aniqlovchisi:
.
To'ldiruvchi aniqlovchi (5.26) tenglamalar sistemasining o'ng tomoni bilan determinant  ning birinchi ustunini, - faqat ikkinchi ustunini va - esa faqat uchinchi ustunini almashtirib topiladi.
(5.26) tenglamalar sistemasida o'ng tomon faqat noldan iborat bo'lganligi uchun determinant , va larda bittadan ustun nollardan iborat bo'ladi. Matematikadan ma'lumki, agar determinantda biror ustun faqat noldan iborat bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi. Demak, , , . Erkin toklarning fizik ma'nosiga asosan ular nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki u holda kommutatsiya qonunlari bajarilmaydi. Yuqoridagi ko'rilganlardan ma'lumki:
.
Shunday qilib, algebraik sistemaning bosh determinanti nolga teng bo'lishi kerak. tenglama xarakteristik tenglama deb ataladi.
Zanjirning o'zgaruvchan tokdagi kirish qarshiligi yordamida sistemaning xarakteristik tenglamasini tuzish

Noma'lum p ni topish uchun xarakteristik tenglamani boshqa usul bilan ham tuzish mumkin. Buning uchun zanjirning kirish qarshiligi murakkab ikki qutblikning o'zgaruvchan tokdagi kompleks qarshiligi yordamida aniqlanadi. Uni deb belgilaymiz, j ni p bilan almashtirib ni hosil qilamiz. tenglama xarakteristik tenglamaning o'zginasidir. Xarakteristik tenglamani tuzishning bunday usuli ko'rilayotgan zanjirda induktiv bog'langan shoxobchalar bo'lmagan sxemalar uchun taalluqlidir.

Ikki qutblikni uzluksiz o'zgaruvchan kuchlanish manbaiga ulash (Dyuamel integrali)

Ixtiyoriy passiv ikki qutblik ondan boshlab uzluksiz o'zgaruvchan u kuchlanish manbaiga ulangan bo'lsin (5.16-rasm).

Ikki qutblikning biror bir shoxobchasidagi i tok (yoki kuchlanish)ni kalit ulangandan keyingi o'zgarish qonuni topilsin.
M asalani ikki bosqichda yechamiz:
Avval birlik kuchlanish (qiymati birga teng o'zgarmas kuchlanish)ga ulangan ikki qutblik shoxobchasidagi tokni topamiz.
Birlik sakrash (pog'onali birlik sakrash) funksiyasi Xevisayd funksiyasi
5.16-rasm
bilan ifodalanadi. Bu funksiya elektr zanjirlar nazariyasida dan boshlab zanjir kirish qismalariga beriladigan birlik qiymatga ega o'zgarmas kuchlanishdir (5.17-rasm). Uni quyidagicha ifodalash mumkin:
t<0 da 1(t)=0, t0 da 1(t)=1.
Pog'onali birlamchi sakrash ta'sirida zanjirda hosil bo'lgan tok (yoki kuchlanish) ga teng bo'lgan funksiya o'tkinchi funksiya yoki o'tkinchi xarakteristika deyiladi. Bu zanjirning birlamchi sakrashga reaksiyasidir.
M isol uchun, -zanjir tokining o'tkinchi xarakteristikasi:
,
-zanjir kuchlanishining o'tkinchi xarakteristikasi:
.
Agar bir paytda tok va kuchlanish izlanayotgan bo'lsa, u holda mos ravishda va deb belgilash mumkin. Ikki qutblik istalgan sxemasining o'tkinchi funksiyasini klassik, operator yoki Fure integrali usullari yordamida aniqlash mumkin. Shunday qilib, bundan keyingi hisoblashlarda ni ma'lum deb olamiz.
Kuchlanish manbaiga passiv ikki qutblik ulanayotganligi uchun da uning har qanday shoxobchasidagi tok yoki kuchlanish nolga tengdir. Shuning uchun da deb olamiz.
Uzluksiz o'zgarayotgan kuchlanish egri chizig'ini to'g'ri burchakli elementar o'zgarmas kuchlanishlar bilan almashtiramiz (5.16-rasm).
Bu holda uzluksiz o'zgarayotgan kuchlanishni vaqtda o'zgarmas kuchlanishga va keyin  vaqt intervali bilan ketma-ket elementar o'zgarmas kuchlanishlarga ulashlar bilan almashtiramiz. Bunda o'suvchi funksiya uchun ning ishorasi "+", kamayuvchi funksiya uchun esa "-" qo'yiladi.
o'zgarmas kuchlanish ta'sirida t onda shoxobchaning toki ga teng bo'lib,  vaqt oralig'ida qo'shiladigan elementar kuchlanish sakrashidan hosil bo'ladigan tokning tashkil etuvchisi ga teng. Bu yerda o'tkinchi funksiya argumenti bo'ladi, chunki kuchlanish kalit ulangandan keyin  vaqtdan keyin ta'sir qila boshlaydi.
Kuchlanishning elementar sakrashi:

Shuning uchun izlanayotgan tokning tashkil etuvchisi:

Kuchlanishning elementar sakrashlari dan to gacha bo'lgan vaqt intervallarida ta'sir etib turadi. Shuning uchun sakrashlarning barcha tashkil etuvchilarini qo'shib va ga intilishini hamda boshlang'ich kuchlanish sakrashidan hosil bo'ladigan tokni hisobga olib, tokning quyidagi ifodasini yozishimiz mumkin:
(5.27)
(5.27) ifoda uzluksiz o'zgaradigan kuchlanish ta'sirida o'tadigan tokni aniqlovchi Dyuamel integrali yoki formulasi deyiladi.
Zanjir tok manbaiga ulangan holat ham yuqorida aytilgan mulohazalar yordamida hal etiladi.
va dan iborat ikkita funksiya uchun o'ralish teoremasi (teorema svertki) ga ko'ra:
(5.28)
(5.28) ifodaga tegishli o'zgartirishlar kiritib, Dyuamel integralining boshqa shakllarini hosil qilish mumkin.