Mavzu: O’yinlar nazariyasi masalasini chiziqli programmalashtirish masalasiga keltirish

1-misol.Quyidagi to‘lov(yutuq) matritsalari bilan berilgan o‘yinlar uchun o‘yinning quyi va yuqori baholari va yechimini toping.

Yechish. matritsa satrlari uchun  elementlarning eng kichiklari mos ravishda 0;2;0 ga teng. Ularning ichidagi maksimali esa 2 ga teng. Demak,  matritsaning quyi bahosi O‘yinning yuqori bahosini topish uchun  matritsa ustunlari bo‘yicha maksimal elementlarni topamiz. Bular, mos ravishda:3;2;4;5 Endi ular ichidan minimalini topamiz:  
Demak,  o‘yinning bahosidir. Bu o‘yinda A o‘ynovchining yutug‘i 2 dan kam emas va B o‘ynovchining yutqazuvi 2 dan oshmaydi.Shunday qilib, agar matritsali o‘yin egar nuqtaga ega bo‘lsa, u holda bu o‘yinning yechimini topish uchun egar nuqtaga mos keluvchi  ва  optimal strategiyalarni hamda

shartni qanoatlantiruvchi bahoni topish kerak.Bunda, A va B o‘ynovchilarning maksimin va minimaks strategiyalari optimal strategiya bo‘ladi, hamda yutuqlar matritsasining egar nuqtasi o‘yinning bahosini beradi.
Agar matritsali o‘yin egar nuqtaga ega bo‘lmasa, u holda uning yechimi aralash strategiyalarda topiladi.
A o‘ynovchi  aralash strategiyani, B o‘ynovchi  aralash strategiyani qo‘llasin, deylik. Demak, A o‘ynovchi o‘zining  sof strategiyasini  ehtimollik bilan, B o‘ynovchi esa, o‘zining  sof strategiyasini ehtimollik bilan tanlaydi. Bu holda, juftlikni tanlash ehtimoli  ga teng bo‘ladi. Aralash strategiyalar qo‘llanganda o‘yin tasodifiy xarakterga ega bo‘ladi. Shuning uchun, o‘yinning yutug‘i ham tasodifiy miqdor bo‘ladi. Demak, bu holda yutuqlarning o‘rtacha miqdori, yа’ni uning matematik kutilmasi haqida gapirish mumkin.
matritsali o‘yinning yutug‘lar funksiyasi yoki A o‘ynovchi yutug‘ining matematik kutilishi deb,

formula orqali aniqlanuvchi funksiyaga aytiladi, buyerda: 
A o‘ynovchining va  B o‘ynovchining ixtiyoriy aralash strategiyalari.
2-мисол.
matritsali o‘yinda

lar mos ravishda A va B o‘ynovchilarning aralash strategiyalari bo‘lsin. Bu o‘yin uchun yutug‘lar funksiyasini topamiz:

Agar, masalan bo‘lsa,  bo‘ladi.

Deylik,  A o‘ynovchining aralash strategiyasi, 
B o‘ynovchining aralash strategiyasi bo‘lsin. U holda, quyidagi teorema o‘rinli.