Mavzu: O’yinlar nazariyasi masalasini chiziqli programmalashtirish masalasiga keltirish

Mavzu: O’yinlar nazariyasi masalasini chiziqli programmalashtirish masalasiga keltirish.
1. O‘yinlar nazariyasining predmeti va asosiy tushunchalari
Matematikaning raqobatli holatlarini, yа’ni qatnashuvchilarning (o‘ynovchilarning) manfaatlari qarama-qarshi yoki bir-biriga mos kelmaydigan holatlarni o‘rganuvchi bo‘limi — «o‘yinlar nazariyasi» deb ataladi. O‘yinlar nazariyasi — raqobatli holatda qatnashayotgan har bir «o‘ynovchi»ga eng katta yutuqqa (yoki eng kichik yutqazishga) erishish uchun qilinadigan harakatlarning eng optimalini aniqlash uchun imkon beruvchi matematik nazariyadir.Ko‘pgina iqtisodiy jarayonlarga ham o‘yinlar nazariyasi nuqtai-nazaridan qarash mumkin. Masalan, o‘yin ishtirokchilari — bir xil turdagi mahsulot ishlab chiqaruvchi korxonalar, tа’minotchilar, iste’molchilar bo‘lib o‘yinning yutug‘i - ishlab chiqarish fondlarining samaradorligi, daromad mablag‘lari, mahsulotning bahosi yoki tannarxi bo‘lishi mumkin.
O‘yinlar nazariyasi nisbatan yosh fanlar qatoriga kiradi. Uning paydo bo‘lishi Neyman va Morgenshternlarning 1944 yil nashr etilgan. «Iqtisodiy jarayonlar va o‘yinlar nazariyasi» monografiyasi bilan bog‘liq. Keyinchalik o‘yinlar nazariyasi amaliy tatbiqlarga ega bo‘lgan mustaqil yo‘nalish sifatida rivojlandi.
Shuni tа’kidlash lozimki, O‘yinlar nazariyasining usullari va xulosalari ko‘p marta takrorlanadigan raqobatli holatlarga nisbatan ishlatiladi.Amalda, raqobatli holatlarni matematik usullar yordamida tadqiq etishda muhim bo‘lmagan faktlarni tashlab yuborib, holatlarning sodda modeli tuziladi.
O‘yin — raqobatli holatlarni ifodalovchi modeldan iborat bo‘lib, uning haqiqiy raqobatdan farqi shundan iboratki, u mа’lum bir qoida asosida amalga oshiriladi.
Har bir o‘ynovchining mа’lum maqsadga erishish niyatida bajarishi mumkin bo‘lgan harakatlari o‘yinning qoidalari deb ataladi.
O‘yinning natijalarini miqdoriy baholash to‘lov deb ataladi. O‘yinning mohiyati shundan iboratki, unda har bir o‘ynovchi o‘ziga eng yaxshi natija beruvchi yechimni tanlashga harakat qiladi.O‘yinda ikkita yoki undan ko‘p o‘ynovchilar qatnashishi mumkin. Shunga muvofiq o‘yin juft (ikki) o‘ynovchili va ko‘p o‘ynovchili bo‘lishi mumkin. Agar o‘yinda faqat ikkita o‘ynovchi qatnashsa, bunday o‘yin «juftli o‘yin» deb ataladi.
Agar juftli o‘yinda bir o‘ynovchining yutug‘i ikkinchi o‘ynovchining yutqazuviga teng bo‘lsa, bunday o‘yin «yig‘indisi 0 ga teng o‘yin» deb ataladi. Bu o‘yinda o‘ynovchilarning umumiy kapitali o‘zgarmaydi, faqat o‘yin davomida qayta taqsimlanadi va shu sababli yutug‘lar yig‘indisi nolga teng bo‘ladi, yа’ni

Bu yerda, - o‘ynovchining yutug‘i.
Yig‘indisi nolga teng bo‘lmagan o‘yinda o‘ynovchilar yutug‘larining yig‘indisi noldan farqli bo‘ladi. Masalan, lotoreya o‘yinida o‘ynovchilar qo‘ygan badalining bir qismi lotoreya tashkilotlariga beriladi.Bu o‘yinda

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Biz quyida amaliy ahamiyati katta bo‘lgan o‘yinlardan — juft o‘yinlarni qarash bilan cheklanamiz. O‘yin ishtirokchilarini Ava B orqali belgilaymiz.
O‘yin jarayonida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan har qanday holatga muvofiq ravishda o‘ynovchining qo‘llashi mumkin bo‘lgan qoidalar birlashmasi «strategiya» deb ataladi. Strategiyaning soniga qarab, o‘yinlar chekli yoki cheksiz o‘yinlarga bo‘linadi.
Optimal strategiya deb, o‘yin bir necha marta takrorlanganda o‘ynovchiga eng katta mumkin bo‘lgan o‘rtacha yutuqni tа’minlovchi sgrategiyaga aytiladi.
Ikki o‘yinchidan biri A o‘zining m mumkin bo‘lgan strategiyalaridan i-strategiyani tanlasin , ikkinchisi B esa birinchisining tanlovini bilmagan holda, o‘zining n ta imkoniyatidan j-strategiyani tanlasin . Natijada, A o‘ynovchi miqdorni yutadi,ikkinchi B o‘ynovchi esa shu miqdorni yutqazadi. sonlardan matritsa tuzamiz.

_{yoki, qisqacha}
.
matritsaning satri birinchi o‘yinchining strategiysiga, ustuni esa- ikkinchisining strategiysiga mos keladi. yutuq yoki o‘yinlar matritsasi deb ataladi.
m ta satr n ta ustundan iborat matritsa bilan aniqlangan o‘yin o‘lchovli chekli o‘yin deyiladi.
Komponentalari
shartlarni qanoatlantiruvchi  vektor-qator(satr) A o‘ynovchining «aralash strategiyasi» deyiladi.
Xuddi shuningdek, komponentlari
shartlarni qanoatlantiruvchi  ^Т vektor-ustun B o‘ynovchining «aralash strategiyasi» deb ataladi. Bunda  ва  lar mos ravishda A o‘ynovchi o‘zining  yurishini va B o‘ynovchi  yurishini tanlash ehtimollarini bildiradi.
Agar  aralash strategiyada i-komponenta 1 ga teng bo‘lib, qolganlari 0 ga teng bo‘lsa, u holda bunday aralash strategiya A o‘ynovchining «i-sof strategiyasi» deb ataladi.Masalan, (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) strategiyalar sof strategiyalardir.
Xuddi shuningdek, j-komponenta 1 ga teng bo‘lib, qolgan komponentalari 0 ga teng bo‘lgan aralash strategiya B o‘ynovchining «j-sof strategiyasi» deb ataladi.
Demak, A o‘ynovchining yutuqlar matritsasining i-qatoriga mos keluvchi  yurishi uning i-sof strategiyasidan iborat bo‘ladi. Xuddi shuningdek, B o‘ynovchining yutug‘lar matritsasining j-ustuniga mos keluvchi  yurishi uning j-sof strategiyasidan iborat bo‘ladi.