Mavzu: Paralel chiziqlar. Perpendikulyar chiziqlar. Reja

Chiziqlarning perpendikulyarligi - perpendikulyarlik shartlari
Perpendikulyarlikning xususiyatlarini bilish kerak, chunki ko'pchilik vazifalar uni keyingi hal qilish uchun tekshirishgacha kamayadi. Hatto topshiriq sharti yoki dalillardan foydalanish zarur bo'lganda ham perpendikulyarlik muhokama qilinadigan holatlar mavjud. Perpendikulyarlikni isbotlash uchun to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lishi kifoya.
Ularning to'rtburchaklar koordinata tizimining ma'lum tenglamalari bilan perpendikulyarligini aniqlash uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni qo'llash kerak. Matnni ko'rib chiqing.
Teorema 1
A va b to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'lishi uchun to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori berilgan b to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoriga perpendikulyar bo'lishi zarur va etarli.
Dalilning o'zi chiziqning yo'nalish vektorining ta'rifiga va chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlashga asoslangan.
Isbot 1
A va b to'g'ri chiziqlarni belgilaydigan tekislikdagi to'g'ri chiziqning berilgan tenglamalari bilan to'rtburchaklar shaklidagi O x y koordinata sistemasi kiritilsin. A va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari a → va b → bilan belgilanadi. A va b chiziqlar tenglamasidan zarur va etarli shart - a → va b → vektorlarning perpendikulyarligi. Bu faqat a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) vektorlarning skalyar hosilasi nolga teng bo'lganida va yozuvi a →, b → = a x b x + a y b y = 0 bo'lganida mumkin. Biz a →, b → = ax bx + ay = 0 ga ega bo'lamiz, bu erda a → = (ax, ay) va b → = bx, by - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.
Yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topish zarur bo'lganda yoki berilgan a va b to'g'ri chiziqlar tekisligida kanonik yoki parametrik to'g'ri chiziqlar mavjud bo'lganda shart qo'llaniladi.
Misol 1
O x y to'rtburchaklar koordinatali tizimda uchta A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) nuqta berilgan. A B va A C chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
A V va A S satrlarda mos ravishda A B → va A C → yo'nalish vektorlari mavjud. Birinchidan, A B → = (- 2,- 3), A C → = (- 6, 4) ni hisoblaylik. Biz A B → va A C → vektorlari nolga teng vektorlarning skalyar hosilasi bo'yicha perpendikulyar ekanligini olamiz.
A B →, A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Shubhasiz, zarur va etarli shart bajarilgan, ya'ni AB va AC perpendikulyar.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
2 -misol
Berilgan x - 1 2 = y - 7 3 va x = 1 + λ y = 2 - 2 · lines chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
a → = (2, 3) - berilgan chiziqning yo'nalish vektori x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) - to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori x = 1 + λ y = 2 - 2 λ.
Keling, a → va b → vektorlarning skalyar hosilasini hisoblashni davom ettiramiz. Ifoda yoziladi:
a →, b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Mahsulot natijasi nolga teng emas, biz xulosa qilishimiz mumkinki, vektorlar perpendikulyar emas, ya'ni to'g'ri chiziqlar ham perpendikulyar emas.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.
A va b chiziqlar perpendikulyarligining zarur va etarlicha sharti uch o'lchovli bo'shliq uchun qo'llaniladi, a →, b → = ax bx + ay + az bz = 0, bu erda a → = (ax, ay, az) va b → = (bx, by, bz) - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.
Misol 3
X 2 = y - 1 = z + 1 0 va x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 by tenglamalar bilan berilgan uch o'lchovli bo'shliqning to'rtburchaklar koordinatali tizimidagi to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligini tekshiring.
Yechim
To'g'ri chiziqlarning kanonik tenglamalari maxrajlari to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari hisoblanadi. Parametrik tenglamadan yo'nalish vektorining koordinatalari koeffitsientlardir. Bundan kelib chiqadiki, a → = (2, - 1, 0) va b → = (1, 2, 4) berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlari hisoblanadi. Ularning perpendikulyarligini aniqlash uchun biz vektorlarning skalyar hosilasini topamiz.
Ifoda a →, b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 shaklini oladi.
Vektorlar perpendikulyar, chunki mahsulot nolga teng. Kerakli va etarli shart bajariladi, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar.