Mavzu: Qutb, silindrik va sferik koordinatalar sistemasi
Download 0.85 Mb.
|
oliy matematika mustqil
|
REFERAT Mavzu: Qutb, silindrik va sferik koordinatalar sistemasi Bajardi: Maxkamov Muxammadali Tekshirdi: Toshkent 2023Qutb koordinatalar sistemasi. Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bogț lanish. Sferik va silindrik koordinatalat sistimalari. Reja: Qutb koordinatalar sistemasi. Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bogĂ lanish. Qutb koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa Sferik va silindrik koordinatalat sistimalari. Sferik koordinatalar sistemasi Bizga yaxshi ma'lumki, ikki karrali integrallarni yaqinlashishga tekshirishda ko'pincha qutb koordinatalar sistemasiga o'tish muhim rol o'ynaydi. Zamonaviy matematikada ko'pincha uch karrali integrallarni yaqinlashuvchanlikka tekshirish bilan bog'liq masalalar uchrab turadi. Xususan, Fridrixs modeli yoki umumlashgan Fridrixs modelining odatdagi va bo'sag'aviy xos qiymatlarini hamda virtual sathlarini tahlil qilishda uch karrali integrallarni tekshirishga to'g'ri keladi. Buni esa ko'pincha sferik koordinatalar sistemasiga o'tish orqali amalga oshirish mumkin. Shu nuqtai nazardan bunday koordinatalar sistemasi haqidagi ma'lumotlar muhim sanaladi. Sferik koordinatalar sistemasi-uch o'lchamli koordinatalar sistemasi bo'lib, fazodagi har qanday nuqta uchta koordinata orqali aniqlanadi, bunda -nuqtadan koordinata boshigacha bo'lgan masofa (radial masofa), va lar esa mos ravishda zenit va azimut burchaklar. Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qo'llaniladi. Zenit-bu fundamental tekislikga tegishli bo'lgan tanlangan nuqtadan (kuzatuv nuqtasidan) vertikal ko'tarilish yo'nalishidir. Astronomiyada ftłndamental tekislik sifatida ekvator yoki gorizont yotuvchi tekislikni tanlash mumkin. Azimut-bu markazi kuzatuv nuqtasida bo'lgan fundamental tekislikdagi istalgan tanlangan nur va avvalgisi bilan umumiy boshlang'ich nuqtaga ega boshqa nur orasidagi burchakdir. Agar sferik koordinatalar sistemasi Oxyz dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralsa, u holda x)' tekisligi fundamental tekislik bo'ladi, berilgan P radiusvektorning zenit burchagi P va z o'q orasidagi burchakka teng bo'ladi. P ning tekislikdagi proyeksiyasi va x o'qi orasidagi burchak esa azimut bo'ladi. Shu orqali burchaklarning nomlanishini asoslash mumkin va sferik koordinatalar sistemasini fazoviy koordinatalar sistemasi turini umumlashtirish sifatida qarash mumkin. P nuqtaning joylshuvi sferik koordinatalar sistemasida 0' (P) uchlik orqali aniqlanadi, bu yerda l) berilgan P nuqtadan koordinata boshigacha bo'lgan masofa nomanfiydir, ya'ni rž 0. P nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va z o'qi orasidagi O burchak uchun 00 O 180 0 munosabat o'rinli; P nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning XY tekislikga proyeksiyasi va x o'qi orasidagi (P burchak uchun 00 (P 3600 munosabat o'rinli. O burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko'p hollarda og'ish burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi. (P ga esa azimut burchagi deyiladi. O va (P burchaklar r = O bo'lganda aniqlanmagan. Bundan tashqari sino = O ya'ni yoki O = 1800 bo'lganda (P burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 standartda qayd qilingan. Bundan tashqari, O zenit burchak o'rniga P radius vektor va x)' tekislik orasidagi 900—0 ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga kenglik deyiladi va Y ham O harfi bilan belgilanadi. Kenglik ¯900 O 900 oraliqda o'zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda O va (P burchaklar r = 0 bo'lganda ma'noga ega emas; coso = 0, ya'ni o = -90 0 yoki 0 = 900 bo'lganda (P ma'noga ega emas. Boshqa koordinatalar sistemasiga o 'tish l) Dekart koordinatalar sistemasi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari berilgan bo'lsa, u holda dekart koordinatalar sistemasiga o'tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi: x = rsinOcosp; y=rsinOsinp; z = r cos 0. Bunda x + y + z = r sin 2 Ocos 2 p+r 2 sin Osin 2 p+r 2 cos = r 2 sin 2 0(cos2 p+sin 2 p)+r 2 cos2 r 2 sin 2 0+ r 2 cos2 0 = r 2 (sin 2 0+ cos2 Aksincha, dekart koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga o'tish quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi: O = arccos p = arctg x Sferik koordinatalar sistemasiga o'tish yakobiani quyidagicha hisoblanadi: sin0cosp rcosOcosp —rsinOsinp ô(x, y, z) = sinOsinp rcos0sinp ô(r, 0, p) coso —r sina = cos O(r 2 cos 2 ocos Osin O + r 2 sin 2 ocos Osin + rsin sin 2 Ocos2 (P+ r sin 2 Osin 2 = r cos Osin0+r2 sin 2 Osin0=r 2 sin0. 2) Silindrik koordinatalar sistemasi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari berilgan bo'lsa, u holda silindrik koordinatalar sistemasiga o'tish quyidagicha amalga oshiriladi: p = r sin O; z = r coso. Aksincha, silindrik koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga o'tish: tengliklar yordamida amalga oshiriladi. Sferik koordinatalar sistemasidan silindrik koordinatalar sistemasiga o'tish yakobiani uchun J = r tenglik o'rinlidir. Shuni alohida ta'kidlash joizki, umumlashgan sferik koordinatalar sistemasiga x = arcosa pcosP O; y = brsina pcosP O; z = crsin P O tenglik yordamida amalga oshiriladi. Bunda rž 0, 0 š (p š 217, 2 2 Fridrixs modeli •¯¯ z13 orqali uch o'lchamli torni, orqali T3 da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz. 3 Ushbu bo'limda 2 Gilbert fazosida tenglik yordamida aniqlangan va Fridrixs modeli deb ataluvchi operatorni qaraymiz. Bu yerda o qo'zg'almas operatori deb ataladi va u ko'paytirish operatoridir: y, z) = (3 — cos x — cos y — y, z), esa integral operator: T3 da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya. Ushbu shartlar asosida operator chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'ladi. Bu tasdiqlar funksional analiz kursidan bizga, ma'lum bo'lgan operatorning chiziqliligi, chegaralanganligi va o'z-o'ziga qo'shmaligi ta'riflari yordamida tekshiriladi. Avvalo shuni qayd qilish lozimki, o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lganligi bois uning spektri haqiqiy sonlar o'qida yotadi. Aniqlanishiga ko'ra V qo'zg'alish operatori ajralgan yadroli bir o'lchamli o'zo'ziga qo'shma integral operatordir. Shu sababli chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektrning o'zgarmasligi haqidagi mashhur Veyl teoremasiga ko'ra operatorning muhim spektri 0 qo'zg'almas operatorning muhim spektriga teng bo'ladi, ya'ni ess g o operatori 3 — cos x — cos y — cos z funksiyaga ko'paytirish operator bo'lganligi uchun bu operator sof muhim spektrga ega bo'ladi, ya'ni Yuqoridagi mulohazaga ko 'ra e ss g tenglik o'rinli bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, g operatorning muhim spektri g ta'sirlashish parametridan bog'liq emas. Endi operatorning diskret spektrini, ya'ni chekli karrali yakkalangan xos qiymatlarini tahlil qilamiz. Buning uchun odatda z s Oni H gf=zf xos qiymatga nisbatan tenglama qaraladi va C \ [0; 6] sohada regulyar bo' Igan yordamchi funksiyani qaraymiz. Unga operatorga mos Fredgolm determinanti deyiladi. Bu funksiyaning xarakteristik xossalaridan biri quyidagidan iborat: soni operatorning xos qiymati bo'lishi uchun bo'lishi zarur va yetarlidir. Shunday qilib, g operatorning diskret spektri uchun {z e C \ [0;61: 0} tenglik o'rinli ekan. Tekshirib ko'rish rŕłumkinki, funksiya va oraliqlarda monoton kamayuvchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy sonlari uchun tengsizlik o'rinli. Bu esa ixtiyoriy g > 0 soni uchun operator 6 dan katta xos qiymatlarga ega emasligini bildiradi. Manfiy xos qiymatlarni o'rganish uchun funksiyani muhim spektrning chap chegarasi nuqtada qo'shimcha aniqlab olamiz. Lebeg integral belgisi ostida limitga o ftish haqidagi Lebeg teoremasiga ko'ra qiymati chekli yoki cheksiz bo'lgan v2 x , y',z'Yx'dy'dz —cosx —cosy —cosz — z 3—cosx —cosy —cosz limit mavjud bo'ladi. Oxirgi integralning chekli ekanligini ko'rsatamiz. Tanlanishiga ko ra ' ' kompakt to'plamda aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyadir. Shu sababli shunday M > 0 soni topilib, ixtiyoriy nuqtada Iv(x, y, z) M (1) tengsizlik bajariladi (kompakt to'plamda aniqlangan uzluksiz funksiyalarning chegaralanganlik xossasi). cosx funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasiga ko'ra 3— cos x— cos y — cosz = tenglik barcha nuqtalarda bajariladi. U hołda shunday c c >0ľ 2 va sonlar topilib, istalgan (x, y, z) Bô(0) x , y , z ET3 : x + 2} nuqtada qo'sh tengsizlik o'rinli bo'ladi. Quyidagi v2 x , y', z' px'cly'dz 3—cosx —cosy —cosz integralda to 'plam bo'yicha additivlik xos.sasidan foydalanamiz: (3)-tenglikning o'ng tomonidagi birinchi qo'shiluvchiga (1) baholashlardan foydalanamiz: v2 x , y', z' px'dy'dz' M 2 dx'dy'dz Bô(o)3—cosx —cosy —cosz (4) (4)-tengsizlikning o'ng tomonidagi integralda sferik koordinatalar sistemasiga o'tamiz: dxȚdyȚdz ô 2 27 r 2 cos pdrdpdO 2 Bô(o) X 2 -8• 2•2z = 416. Demak, Endi (3)-tenglikning o'ng tomonidagi ikkinchi qo'shiluvchini baholaymiz: 3 — cosx cosy — cosz funksiya yagona (OO , ,o)eT3nuqtada minimumga ega. Shu sababli shunday c > O soni topilib, barcha nuqtalar uchun 3 cosx— cosy — cosz 2 c > 0 tengsizlik o'rinli. Bundan va (l)-tengsizlikdan v2 x , y', z'Vx'dy'dz' M 2 J dx'dy'dz' —87t 3 < T. 3—cosx —cosy —cosz C2 Shunday qilib, v2 x , y',z'Vx'dytdz < 00 3—cosx —cosy —cosz ekan. Yuqorida keltirilgan mulohazalardan Fridrixs modelining va umumlashgan Fridrixs modelining xos qiymatlari soni va joylashgan o'rnini aniqlashda foydalanish mumkin [1-30]. Bundan tashqari, Fridrixs modellari oilasi va umumlashgan Fridrixs modellari oilasiga mos Fredgolm determinanti funksiyada funksiyani uzluksizlikga tekshirishda alohida ahamiyat kasb etadi. Foydalanilgan adabiyotlar Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020). Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science. 51 :2, Part Il, pp. 19-22. YMHpKYJ10Ba r.X. (2020). OUeHKV1 rpaHeü cymeCTBeHHOro cneKTpa MOAeJ1bHOro onepaTopa Tpex qacTH11 Ha pemence. BHO. 16-2 (94), C. 14-17. YMHPKYJ10Ba r.X. (2020). MC110J1b30BaHHe Mathcad 06yqeHHH 'TeMe flp06neMb1 neDaeoancu. N! 6 (51), C. 93-95. Umirqulova G.H. (2021). Uch zarrachali model operatorning xos funksiyalari uchun Faddeev tenglamasi. Scientific progress. 2: 1, 1413-1420 b. YMupKYJ10Ba r.X. (2021). flaHxcapazxarH ytd 3appaqaJIH MOAeJ1b onepaTopra MOC KaHaJ1 orrepaTopnap Ba YJ1apHHHr crreKTpnapu. Scientific progress. 3:2, 51-57 6. Umirqulova G.H. (2021). Uch zarrachali model operator xos funksiyalari uchun simmetrik Faddeyev tenglamasi. Scientific progress. 2:3, pp. 406-413. YMHpKYJ10Ba r.X. (2021). MecTor10J10)KeHme C06CTBeHHb1X 3HaqeHnN1 ceMeüCTB Moneneil Opvupmxca. HayRa, mexnujca u 06pa30€anue, 77:2, C. 56-60. Download 0.85 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|