Мавзу. Такрорий ўринлаштириш, ўрин алмаштириш ва гуруҳлашлар

 

11-12-мавзу.  Такрорий ўринлаштириш,  ўрин алмаштириш 

ва гуруҳлашлар 

 

Tanlanmalarda elementlar takrorlanishi va takrorlanmasligi mumkin. 

   Ta`rif.  Elementlari  takrorlanuvchi  tartiblanmagan 



)

,

( k

n

tanlanmaga    n  

elementdan    k tadan  takrorlanuvchi  guruhlash  deyiladi  va 

k

n

С

~

  ko`rinishida 

belgilanadi.  

   Ta`rif.  Elementlari  takrorlanuvchi  tartiblangan 



)

,

( k

n

tanlanma    n  

elementdan    k tadan  takrorlanuvchi  joylashtirish  deyiladi  va   

k

n

А

~

  kabi 

belgilanadi.  A  inglizcha  “arrangement”  –  “tartibga  keltirish”  so`zining  bosh 

harfidan olingan. 

 

Misol.   

}

,

,

{

3

l

n

m

A



  to`plamning  3  ta  elementdan  2  tadan  barcha  tartiblangan  va 

tartiblanmagan, takrorlanuvchi tanlanmalarini ko`rsating. 

1) 





9

}

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

~

2

3





l

l

n

l

m

l

m

n

l

n

n

n

l

m

n

m

m

m

А

 

ta 

takrorlanadigan joylashtirish; 

2) 





6

}

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

},

;

{

~

2

3





l

l

l

n

n

n

l

m

n

m

m

m

С

 ta takrorlanuvchi guruhlashlar 

mavjud. 

 

Takrorlanuvchi joylashtirishlar 

 

n  ta  elementi bo`lgan  S  to‘plamda birinchi elementni tanlash uchun  n  ta 

imkoniyat  bor,  joylashtirish  takrorlanuvchi  bo`lgani  uchun  qolgan  ixtiyoriy 

element  uchun  ham    n   ta  imkoniyat  qoladi.  Ko`paytirish  qoidasiga  ko`ra  barcha 

takrorlanadigan joylashtirishlar soni quyidagiga teng bo`ladi:  

 

k

ta

k

k

n

n

n

n

n

А

















 ...

~

 

 

Takrorlanuvchi o`rin almashtirishlar 

 

S to‘plamning k

1 

elementli  A

1 

 qism to‘plamini 

1

k

n

С usulda tanlash mumkin, 

qolgan  n-k

1

  element ichidan  k

2

 elementli  A

2

 qism to‘plamini 

2

1

k

k

n

С



 usulda tanlash 

mumkin  va  hokazo.  Turli  xil 

m

A

A

A

,...,

,

2

1

  qism  to‘plamlarni  tanlash  usullari 

ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra 

 



























m

m

k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

n

k

n

C

C

С

С

1

2

1

3

2

1

2

1

1

...

...

 

 















































)!

-

...

-

-

(

! 

)!

....

(

....

! 

)

-

-

(

 !

 

! 

)

(

! 

)

(

! 

! 

)

(

! 

)

(

! 

! 

2

1

1

2

1

3

2

1

3

2

1

2

1

2

1

1

1

m

m

m

k

k

k

n

k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

n

k

k

n

k

n

k

n

 

!

 

...

 

!

 

 

!

 

!

 

2

1

m

k

k

k

n









 

Aytaylik    k

1

,  k

2

  ,...,  k

m

      butun  nomanfiy  sonlar  bo‘lib, 

n

k

k

k

m









...

  

2

1

 va    S  to‘plam      n   ta  elementdan iborat bo‘lsin.  S  ni 

elementlari  mos  ravishda  k

1

,  k

2

  ,...,  k

m   

ta  bo‘lgan 

m

A

A

A

,...,

,

2

1

    m  ta  qism 

to‘plamlar yigindisi ko‘rinishida ifodalash usullari soni  

!

 

...

 

!

 

 

!

 

!

 

)

,...,

(

2

1

1

m

m

n

k

k

k

n

k

k

С









 

ta bo‘ladi. 

)

,...,

(

1

m

n

k

k

С

sonlarga  polinomial koeffitsiyentlar deyiladi.  

 

Misol.    “Baraban”  so‘zidagi  harflarni  qatnashtirib,  nechta  so‘z  (ma`nosi  bo`lishi 

shart emas!) yasash mumkin? 

 

Yechilishi:   “b”  harfi  k

1

=2 ta,  

                     “a”  harfi  k

2

 =3 ta,  

                     “r”  harfi  k

3

 =1 ta,  

                     “ n ”  harfi  k

4

=1 ta, jami harflar soni  n =7  ta, demak, 

 

.

420

!

 

1

 

 !

 

1

 

!

 

3

 

!

 

2

!

 

7

)

1

,

1

,

3

,

2

(

7











С

 

 

Misol.  “Lola” so‘zidagi harflardan nechta so‘z yasash mukin? 

.

12

1!

1!

!

 

2

!

 

4

)

1

,

1

,

2

(

4









С

 

 

Elementlarining  k

1

  tasi  1-  tipda,  k

2

  tasi  2-tipda,  va  hokazo  k

m

  tasi  m-tipda 

bo‘lgan n elementli to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlar soni   

 

!

 

...

 

!

 

 

!

 

!

 

)

,...,

(

2

1

1

m

m

n

k

k

k

n

k

k

С









 

 

ta bo‘ladi. 

 

Tadqiqotlarda        ko‘p  miqdordagi  takrorlanuvchi  o‘rin  almashtirishlarni 

hisoblashga  to‘g‘ri  kelsa,  unda  Excel  dasturlar  paketidagi  МУЛЬТИНОМ 

komandasidan foydalanish mumkin, masalan  

 

12600

 !

 

3

 

 !

 

4

 

!

 

2

 

!

 

1

!

 

10

)

3

,

4

,

2

,

1

(

10











С

 

ekanligini tezlik bilan hisoblash hech qanday qiyinchilik tug‘dirmaydi. 

Misol.  “MASALA”  so’zidagi  harflarni  necha  xil  usulda  o’rin  almashtirish 

mumkin? 

Yechilishi:  Ushbu  so’z  6  ta  harfdan  iborat  bo’lgani  uchun  uni  6!  Usulda 

o’rin almashtirish mumkin. Biroq unda 3 ta “A” harfi qatnashgan,  “A” harflarini 

o’rin  almashtirgan  bilan    yangi  so’z    hosil  bo’lmaydi.    3  ta  harfni  o’rin 

almashtirishlar soni 3! ga tengligidan   

840

!

3

!

7



  qiymat topiladi.  

Demak, “MASALA” so’zidagi harflarni o’rin almashtirish  bilan 840 ta  turli 

“so’z” hosil qilish mumkin ekan. 

 

Ta’rif.  n   ta    elementli    to‘plamning  barcha  tartiblanmagan  takrorlanuvchi  

k   ta elementli  qism  to‘plamlarini ajratish  takrorlanuvchi guruhlash deyiladi.  

 

S   to`plamning  elementlari  1;2;…; n   sonlari  bilan  raqamlangan  bo`lsin.  S  

to`plam chekli yoki sanoqli bo`lgani uchun, har doim  S   to`plam elementlari va  N  

natural sonlar to`plami elementlari o`rtasida bir qiymatli moslik o`rnatish mumkin. 

U  holda  S   to`plam  o`rniga  o’zaro  bir  qiymatli  moslik  kuchiga  asosan,  unga 

ekvivalent bo`lgan  

}

;...;

2

;

1

{

/

n

S



 to`plamning 

k

n

С  guruhlashlarini topish mumkin.    

/

S   to`plamning  har  qanday  tanlanmasini   

}

;...;

;

{

2

1

k

n

n

n

  ko`rinishda  yozish 

mumkin,  bunda   

k

n

n

n







...

2

1

  ketma-ketlik  o’rinli  bo’lib,  “tenglik”  amali 

tanlanma takrorlanuvchi  bo`lishi mumkinligini bildiradi.  

k   ta  elementli  tanlanma 

}

;...;

;

{

2

1

k

n

n

n

  ga  k   ta  elementli  to`plam 

}

1

;...;

1

;

{

2

1







k

n

n

n

k

 ni mos qo`yamiz, bunda elementlar turlicha  bo`ladi.  

}

;...;

;

{

2

1

k

n

n

n

  va   

}

1

;...;

1

;

{

2

1







k

n

n

n

k

  to`plamlar  orasidagi  moslik  yana 

o`zaro  bir  qiymatli  bo`lib,   

}

1

;...;

1

;

{

2

1







k

n

n

n

k

  to`plam 

}

1

;...;

2

;

1

{

/



k

S 

 

to`plamdan  

1





k

n

 tadan takrorlanmaydigan  k  elementli guruhlash bo`ladi.  

 

 

U  holda  takrorlanmaydigan   

k

k

n

С

1





  guruhlashlar  soni 

k

n

C

~

  takrorlanuvchi 

guruhlash soniga teng bo’ladi, ya`ni 

 

!

)

1

(

...

)

1

(

)!

1

(

!

)!

1

(

~

1

k

k

n

n

n

n

k

k

n

С

C

k

k

n

k

n































 

  

 

Teorema.    n   ta    elementdan    k     ta  elementli  takrorlanuvchi  guruhlashlar  soni          

k

k

n

k

n

С

C

1

~







    ga teng.  

Misol. 4 ta o’yin kubigini tashlab, nechta turlicha variant hosil qilish mumkin? 

 

Yechilishi:    Har  bir  o’yin  kubigida  1  dan  6  gacha  raqamlardan  bittasi 

tushishi  mumkin,  ya’ni  har  bir  kubikda  6  ta  variant  bo’lishi  mumkin.  Agar  4  ta 

o’yin  kubigi  tashlansa,  har  bir  variantni  4  ta  ob’yektning  tartiblanmagan 

takrorlanuvchi  ketma-ketligi  deyish  mumkin,  ularning  har  biri  uchun  esa  6  ta 

imkoniyat bor: 

 

.

126

4

3

2

1

9

8

7

6

!

5

!

4

!

9

!

5

!

4

)!

1

4

6

(

)!

1

(

!

)!

1

(

~







































n

k

k

n

C

k

n