Mavzu: Tenglamalar sistemasini Iteratsiya usulida yechish

Mavzu: Tenglamalar sistemasini Iteratsiya usulida yechish.

Noma’lumlar soni ko‘p bo‘lganda Kramer, Gauss, teskari matritsa usullarining aniq yechimlar beruvchi chiziqli sistema sxemasi juda murakkab bo‘lib qoladi. Bunday hollarda sistema ildizlarini topish uchun ba’zan taqribiy sonli usullardan foydalanish qulaydir. Shunday usullardan biri iteratsiya usulidir. Quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

, i =1,2,...,n (5)

Bu sistema matritsa ko‘rinishda quyidagicha yoziladi:

,

bu yerda

.

Biz (5) da (i=1,n) deb faraz qilamiz.

Tenglamalar sistemasida 1- tenglamani x₁ ga nisbatan, 2- tenglamani x₂ ga nisbatan va oxirgisini x_n ga nisbatan yechamiz:

(6)

Ushbu

va

matritsalar yordamida (6) ni quyidagicha yozishimiz mumkin

(7)

(7) sistemani ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz:

x⁽⁰⁾=b, , ,....

Bu jarayonni quyidagicha ifodalaymiz:

, x⁽⁰⁾=b (8)

Bu ketma-ketlikning limiti, agar u mavjud bo‘lsa (5) sistemaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi.

Biz

belgilashni kiritamiz.

Agar ixtiyoriy e>0 uchun tengsizlik barcha i =1,2,...n uchun bajarilsa vektor (5) sistemaning e aniqlikdagi yechimi deb yuritiladi.

Teorema. Agar keltirilgan (6) sistema uchun yoki shartlardan birontasi bajarilsa, u holda (8) iteratsiya jarayoni boshlang‘ich yaqinlashishni tanlashga bog‘liq bo‘lmagan holda yagona yechimga yaqinlashadi.

Natija (8) tenglamalar sistemasi uchun, , ..., tengsizliklar bajarilsa (8) iteratsiya yaqinlashuvchi bo‘ladi.