Mavzu: Teskari matrisa va chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matrisa usulida yechish

Amaliy matematika fanidan
Mustaqil ish

Mavzu: Teskari matrisa va chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matrisa usulida yechish.

Reja:
1.Teskari matrisa haqida tushuncha.
2.Teskari matrisani hisoblash yo’llari.
3.Chiziqli tenglamalarni teskari matrisa orqali yechish
4.Mavzu yuzasidan misollar

Bajardi: Amirov Abdulaziz

TDIU Sam filiali BI 222 guruh


Teskari matrisa.Teskari matrisa haqida umumiy malumotga ega bo’lishimizdan oldin ba’zi zarur tushunchalar bilan tanishib olishimiz kerak.
Transponirlangan matrisa. Matrisa mos satrlarini uning mos ustunlariga almashtirishdan hosil bo’lgan matrisaga transponoirlangan matrisa deyiladi.
A matrisaning trasponirlangani kabi belgilanadi.
Masalan, A= uchun transponirlangan matrisa = ko’rinishda bo’ladi.
Agar A kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, ya’ni det 0 A  bo‘lsa, A matritsa xosmas matrisa deyiladi.
Agar det 0 A = bo‘lsa, A matritsa xos matritsa deyiladi.
Maxsusmas matrisa deb parallel satr ustunlari mos elementlari proporsianal bo’lmagan yani determenanti 0 dan farqli bo’lgan matrisaga aytiladi.
Tarif: Berilgan A maxsusmas matrisaning teskari matrisasi deb tartibi A matrisani tartibiga teng uni berilgan matrisanga o’ngdan chapdan ko’paytirilganda birlik matrisani beradigan maxsusmas matrisaga aytiladi.
Sodda qilib aytganda: Agar A kvadrat matritsa uchun AA^-1 = A A^-1 = E tenglik bajarilsa, u holda A^-1 matritsa A matritsaga teskari matritsa deyiladi. 𝐴 matritsaga teskari matrisani 𝐴^-1 kabi belgilanadi.
1-teorema. A kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun A matritsa xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli.
Isbot: Faraz qilaylik A matritsa uchun A ^-1teskari matritsa mavjud bolsin, u holda determinantning xossasiga ko‘ra,detA,detA^-1=detAA^-1=detE=1 bo’ladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud boʻlsa detA=detA^-1≠0 ekanligi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, A  0 bo‘lsin.. A matritsaga qo‘shma A matritsani q ramamiz:

A₁₁ A₂₁ ... A_i1 ... A_n1
A₁₂ A₂₂ ... A_i2 ... A_n2
A= ... ... ... ... ... ... ...
A_1j A_2j ... A_ij ... A_nj
... .... .... .... .... ..
A_1n A_m2 ... A_in ... A_nn

A va Ᾱ matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz:
a₁₁ a₁₂ ... a_1j ... a_1n A₁₁ A₂₁ ... A_i1 ... A_n1
a₁₂ a₂₂ ... a_2j ... a_2n A₁₂ A₂₂ ... A_i2 ... A_n2
... .... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ...
AA= a_ij a_i2 … a_ij … a_in A_1j A_2j ... A_ij ... A_nj
... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... ..
A_n1 a_n2 ... a_nj ... a_nn A_1n A_m2 ... A_in ... A_nn

AA ko‘paytmaning har bir elementi

A_i1A_j1+A_i2A_j2+…………+A_inA_jn
yigindidan iborat bo’ladi
Bundan A va A matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng bo’ladi.

│A│ 0 … 0 1 0 … 0
0 │A│ … 0 = │A│ * 0 1 … 0
… … … … … … …
0 0 … │A│ 0 0 … 1
Bundan,
AᾹ=AE ₍₁₎
Xuddi shu usulda
ᾹA=AE (2)
Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (1) va (2) tengliklardan
A^-1= ^.Ᾱ
Yoki,

... ...
... ...
A^-1 = ... ... ... ... ... ... ...
... ...
... .... .... .... .... ..
... ...
(3)

Kelib chiqadi. Haqiqatan ham (1) dan

AA^-1=A^. Ᾱ= A^. Ᾱ=E
va (2) dan bu qurilgan A^-1 matritsa A matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni
A^-1A=E .
Teorema isbotlandi.
Izoh. Teskari matritsa A^-1 yagona bo‘ladi. Haqiqatan, agar biz A matritsaga teskari boshqa bir X matritsa mavjud desak, ya’ni 1) AX=E bo‘lsa, u holda bu tenglikni chap tarafdan A^-1 matritsaga ko‘paytirib A^-1 = X, 2) XA=E bo‘lsa, u holda bu tenglikni o‘ng tarafdan A^-1 matritsaga ko‘paytirib X=A^-1 ga ega bo’lamiz.

1-misol. Berilgan matritsa:

A=
ga teskari matrisa toping:
Yechish. 1) A matresani determinantini topamiz:
detA=1* -2 +3* =
= -48-2(-42)+3(32-35)=-48+84-9=27
detA≠ demak , A^-1mavjud.
2) A matrisa barcha elementlarning algebraic to’ldiruvchilarini topamiz:
A₁₁=(-1)¹⁺¹* =5*0 - 6*8=-4;
A₁₂=(-1)¹⁺²* =-(4*0 - 6*7)=42;
A₁₃=(-1)¹⁺³* =4*8 – 5*7=-3;
A₂₁=- =24 A₂₂= =-21
A₂₃= =6 A₃₁= =-3
A₃₂=- =6 A₃₃= =-3

3) A=(A_y)^t= matrisani yozamiz.

4) A^-1 matrisani topamiz:

A^-1= *A= * =

Tekshiramiz:
A^-1*A= * = ;

A*A^-1= *

Teskari matrisaning asosiy xossalari:

1. 
   [A^-1]=[A]^-1;
   
2. 
   (A^-1)^-1=A
   
3. 
   (A*B)^-1=B^-1*A^-1;
   
4. 
   (A’)^-1=(A^-1)’
   

3- xossaning isbotini ko’ramiz:
(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=(AE)A^-1=AA^-1=E ,
(B^-1A^-1)(AB)=B(A^-1A)B^-1=BB^-1=E
bundan
B^-1A^-1=(AB)^-1
4-xossani isbotini ko’ramiz:
A(A^-1)’=(A^-1A)’=E’=E
Bundan
(A^-1)’=(A’)^-1.
Ta’rif . Agar A kvadrat matritsa uchun A*A^T=A^TA=E (yani A^-1=A^T) bo‘lsa, u holda A matritsa orthogonal matritsa deyiladi.
Teorema. Agar 𝐴 matritsa xos, ya’ni 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 bo’lsa, u holda 𝐴^-1 teskari matritsa mavjud emas.
Isbot. 𝐴 matritsa uchun 𝐴𝐵 = 𝐸 bo’ladigan 𝐵 matritsa mavjud deb faraz qilaylik. U holda det 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. 7-xossaga asosan: 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Biroq, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 , 𝑑𝑒𝑡𝐸 ≠0 ekanligini hisobga olsak, 0=1 ni hosil qilamiz. Bu ziddiyat teoremani isbot qiladi.
Teorema. Agar 𝐴 matritsa xosmas bo’lsa, u holda 𝐴^-1 matritsa yagonadir. Shunday qilib, berilgan 𝐴 matritsaga teskari 𝐴^-1 matritsani hosil qilish uchun quyidagi ishlarni amalga oshirish zarur:
1. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = ∆ ni hisoblash.
2. Agar ∆≠0 bo’lsa 𝑑𝑒𝑡𝐴 ning barcha elementlari uchun algebraic to’ldiruvchilardan tuzilgan 𝐴 biriktirilgan matritsani tuzish.
3. Bu matritsaning barcha elementlarini ∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ga bo’lish.
Tеорема. Har qanday orthogonal matritsa uchun teskari matritsa mavjud va u ham orthogonal matritsa bo‘ladi.
Bu teorema (A’)’=A bolganida, AA’=A’A=E kelib chiqadi.
2-misol. Uchburchakli matritsa
A=
Uchun teskari matrisani toping:
Yechish. Determinantni hisoblaymiz:
[A]= =2≠0

Qo‘shma matritsani tuzamiz:

A=
A matrisani ∆A=2 ga bo’lib,
A^-1=
Teskari matrisaga ega bo’lamiz.
Ekvivalent almashtirishlar yordamida teskari matritsani hisoblash.
Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usulida maxsusmas matritsani shu tartibdagi birlik matritsa bilan kengaytiriladi, kengaytirilgan matritsa satrlari ustida elementar almashtirish to kengaytirilgan matritsa birinchi qismida birlik matritsa hosil boʻlguncha olib boriladi, natijada kengaytirilgan matritsaning ikkinchi qismida berilgan matritsaga teskari boʻlgan matritsa hosil boʻladi. Bu jarayonni Gauss-Jordan modifikatsiyasi (yoki formulasi) koʻrinishida yozishimiz mumkin:
(A/E)~(E/A^-1)
3-misol. Gaus Jordan usulida berilgan matritsaga teskari matritsani toping:
Yechish. (3x6 ) o‘lchamli Г = (A/E) kengaytirilgan matritsani yozamiz. Avval matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarib uni pog‘onasimon ko‘rinishga keltiramiz Г₁=(A₁/B ), keyin Г₂=(E/A^-1) ko‘rinishga keltiramiz.

Г = Г₁ =

= =Г₂

Demak, A^-1 =
Tekshiramiz:
AA^-1= * =
A^-1A= *
4-misol. Quydagi matrisalarning teskarisini toping:

1. 
   A = , b) A =
   

1. 
   detA = =-10≠0 algebraik to‘ldiruvchilarni hisoblaymiz:
   

A₁₁=4 A₁₂=-3 A₂₁=-2 A₂₂=-1
Natijaga erishamiz
A^-1=- =
Tekshirish:
AA^-1= * = =E
Uchunchi tartibli determinantni hisoblaymiz, detA=-8 va algebraik to‘ldiruvchilar: A₁₁=-2, A₁₂=2, A₁₃=4, A₂₁=3, A₂₂=1, A₂₃=-2 , A₃₁=-7, A₃₂=-5 ,A₃₃=-6. U holda,
A^-1 =- bu javobga erishamiz.

Ch.T.S ni teskari matrisa usulida yechish.
Determinantlar va matritsalar nazariyalarida olingan natijalarni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga qo’llaymiz. Ushbu

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ……+a_1nx_n=b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ……+a_2nx_n=b₂
…………………………………... (1)
a_m1x₁ + a_m2x₂ + …..+a_mnx_n=b_m
𝑛 ta noma’lumli va 𝑚 ta chiziqli tenglamalardan iborat bo’lgan ChATSni o’rganamiz.

a₁₁ a₁₂ …… a_1n
A= a₂₁ a₂₂ …… a_2n
…………………… (2)
a_m1 a_m2 ….. a_mn





a₁₁ a₁₂ ... a_1j ... a_1n b₁ b₁
a₁₂ a₂₂ ... a_2j ... a_2n b₂ b₂
B = ... .... ... ... ... ... .. b₃ = A ... (3)
a_m1 a_m2 ... a_mj ... a_mn b_m b_m
Berilgan (1) sistemada 𝑚 = 𝑛 bo’lib, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0 bo’lsin. U holda 𝐴 matritsaga 𝐴^-1 teskari matritsa mavjud:
A₁₁ A₂₁ ... A_n1
A₁₂ A₂₂ ... A_n2
A^-1= ... ... ... ...
A_1n A_2n ... A_nn ,
bu yerda 𝐴_ij − algebraik to’ldiruvchilar.
Qaralayotgan (1) sistemadagi noma’lumlarni va ozod hadlarni ustun matritsalar ko’rinishida yozib olamiz:

U holda (1) sistemani matritsali ko’rinishda yozish mumkin:
AX=B

Bu matritsali tenglamaga chapdan 𝐴^-1 teskari matritsani ko’paytirib, topamiz:

𝐴^-1 𝐴𝑋 = 𝐴^-1 B
bu yerdan 𝐸𝑋 = 𝑋 = 𝐴^-1 B. Shunday qilib, 𝑋 matritsa-yechim 𝐴^-1 teskari matritsaning 𝐵 ustun-matritsaga ko’paytmasi ko’rinishida topiladi.
Misol 5. Tenglamalar sistemasini matritsa usulida yeching.

Yechish:
A= , X= B= , detA= -8

Teskari matrisa:
A^-1= -1/8 .

Endi 𝑋 ni topamiz:

X=A^-1B= - )=
= -1/8 =
= -1/8 = .
Shunday qilib, sistemaning yechimini yozamiz:
𝑥₁ = 2, y = 0, z = −1.
6-misol. Tenglamalar sistemasini matrisa usulida yeching
A=
Sistemaga mos asosiy, ozod hadlar va noma’lumlar matrisalari mos ravishda ushbu ko’rinishga keltiramiz
A= , B= , X= .
So’ng A matrisasini determinantini topamiz: detA= 24+27+16-24-24-1=1≠0
Bo’lgani uchun A^-1= bo’ladi.

U holda, X=A^-1*B=

Demak, x₁=1 x₂=1 x₃= -1 javoblarni olamiz.
7-misol. Berilgan matrisalarga teskari matrisalarni toping.

Yechish: va


Tekshirib ko’ramiz:

8-misol. Berigan chiziqli tenglamalar sistemasini matrisa usulida yeching:

Yechish: va

Javob:
Chiziqli tenglamalar sistemasini kramer va gauss usulida ham yechsa bo’ladi
Masalan 9-misol Berilgan sistemani kramer usulida yeching:

Yechish:
X=-7 X=7 X=5 Javob: (-7:7:5)
10-misol. Quyudagi tenglamalar sistemasini matrisa usulida yeching:

Yechish

Javob: X₁ =1 X₂ =1 X₃ =-1

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar

1-Topshiriq. Quyidagi matrisalarning teskarisini toping
a) b) c )
d) e)
2-Topshiriq matrisalarning teskarisini toping va tekshiring
a) b) c)
d) e)
3-Topshiriq. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisa usulida yeching
a) b) c)

d) e)

4-Topshiriq. Quyidagi masalani matrisa usulida yeching
Korxona 3 xil xom ashyodan foydalanib 5 xil mahsulot ishlab chiqaradi. Xom ashyo sarflash me’yori A matritsa bilan berilgan.

Xom ashyoning birlik narxi B = (10 25 30) matritsa bilan berilgan. Agar ishlab chiqarish rejasi (90, 110, 140, 180, 200) bo`lsa, korxonaning umumiy xarajatini toping.
5-Topshiriq. berilgan tenglamar sistemasini Kramer,Gauss va teskari matrisa usullarida yeching
a) b) c)
d) e)
6-Topshiriq. Masalani teskari matrisa usulida yeching Tikuvchilik korxonasi uch kun davomida kostyumlar, plashlar va kurtkalar ishlab chiqardi. Uch kunda ishlab chiqarilgan mahsulotning hajmi va pul harajatlari ma’lum. Har bir mahsulotning tannarxini toping.