Mavzu: To’rt asosiy qism fazolar. Chiziqli fazo haqida
Download 1.02 Mb.
|
Kurs ishi . Ergasheva Fotima. Algebra
a ... a 11 12 1n
a ... a A21 22 2n (2) ... ... ... ... a ... a n1 n2 nn Bu matritsaning d determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga o`tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo`ladi. Ma`lumki, A matritsaga teskari matritsa A11/d A21/d ... An1 /d A12 /d A22 /d ... An2 /d B ... ... ... ... A1n /d A2n /d ... Ann /d Aij esa A matritsaning aij elementining algebraik to`ldiruvchisi. (1) ning birinchi tenhligini A1j ga, ikkinchisini A2 j ga va hakazo n-sini esa Anj ko`paytirib, so`ngra ularni qo`shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz. n e11A1 j e12A2 j ... en1 Anj ei (a1i A1 ja2i A2 j .... ani Anj ) i 1 i ustun elementlarini mos j ustun algebraik to`ldiruvchisiga ko`paytmalari yig`indisi i j bo`lganda nolga tengligini hisobga olsak (i j da d ga teng) Oxirgi tenglikdan e11A1 j e12A2 j ... e1n Anj ejd bundan A 1 j 1 A2 j 1 Anj 1 ej e1 e2 .... en , j 1,2,...,n d d d yoki e1 en , e2 d d dn2 e1n , (4) ............................................ A1n e11 A2n e12 .... Ann e1n en d d d (4) formula e11,e12 ,...,e1n bazisdan e1,e2,...,en bazisga o`tish matritsasi A matritsaga teskari matritsa orqali o`tishni ifodalaydi. Bu A matritsaga teskari matritsani A1 orqali belgilaymiz. Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat. Maxsusmas (2) matritsa orqali e1,e2,...,en bazisdan e11,e12 ,...,e1n bazisga o`tilgan bo`lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo`lsin. (x1,x2,...,xn ) esa uni e1,e2,...,en bazisdagi koordinatasi (x11,x12,...,xn1 ) esa e11,e12 ,...,e1n bazisdagi koordinatasi bo`lsin, ya`ni x x11e11 x12e12 ... x1ne1n x1e1 x2e2 ... xnen e1,e2,...,en lar o`rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo`yib nn e1n ). d d d d Oxirgi tenglikdan e11,e12 ,...,e1n bazis bo`yicha yagona yoyilma o`rinli ekanligidan (x1,x2,...,xn ) koordinatadan (x11,x12 ,..., x1n ) koordinataga o`tish formulasi kelib chiqadi: x11xn , x12xn , d d d (5) .............................................. 1 An1 An2 Ann xn x1 x2 .... x d d d n T asdiq Ixtiyoriy maxsusmas A matritsa uchun teskari A 1 matritsa yagonadir Isboti Faraz qilaylik yana bir C matritsa mavjud va AC CA E bo`lsin U holda CAA CAA bundan C A 1 kelib chiqadi 1.4. Evklid fazosi va uni sodda xossalari. R haqiqiy chiziqli fazo haqiqiy evklid fazosi ( yoki evklid fazosi) deyiladi agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa: Ushbu fazoning ixtiyoriy ikkita x va y elementlariga ularni skalyar ko`paytmasi deb ataluvchi (x, y) haqiqiy sonni mos qo`yish qoidasi berilgan bo`lsa. Ushbu aniqlangan skalyar ko`paytma quyidagi to`rtta aksiomani qanoatlantirsa: ( x, y)(y,x) (o`rin almashtirishlik va simmetriklik xossasi). ( x1 x2,y) (x1,y) (x2,y) (tarqatish xossasi). ( x, y) (x, y) barcha haqiqiy lar uchun. ( x,x) 0, agarda x noldan farqli element bo`lsa; (x,x) 0, agar x nol element bo`lsa. Agar o`rganiladigan ob`ektlar va yoqorida sanalgan qoidalar berilgan bo`lsa , u holda evklid fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi. Evklid fazosiga misollar keltiramiz. 1-misol. Barcha erkin vertorlarning B3 chiziqli fazosini qaraylik.Ikkita ixtiyoriy vektorining skalyar ko`paytmasini analitik geometriyaga aniqlanga skalyar ko`paytma kabi kiritaylik( ya`ni bu vektorlar uzunligini ko`paytmasiga ular orasidagi burchak kosinusini ko`paytmasi).U holda ko`rish qiyin emaski skalyar ko`paytmadagi 1- 4 xossalar bajariladi. Demak, B3 fazo ushbu aniqlangan skalyar ko`paytmaga nisbatan evklid fazosi bo`ladi. 2-misol. Barcha a x b oraliqda aniqlangan va uzluksiz x(t) funksiyalarning C[a,b] cheksiz o`lchovli chiziqli fazosini qaraylik. Ikkita x(t) va y(t) funksiyalarning skalyar ko`paytmasini bu funksiyalarni ko`paytmasini ( a dan b gacha ) integrali sifatida aniqlaymiz: b x(t)y(t)dt. (1) a Sodda ko`rish mumkinki skalyar ko`paytmadagi 1-4 xossalar bajariladi.Demak, C[a,b] fazo ushbu aniqlangan (1) skalyar ko`paytmaga nisbatan cheksiz o`lchovli evklid fazosi bo`ladi. 3-misol. n o`lchovli chiziqli An fazo evklid fazosiga misol bo`la oladi.Agarda unda ixtiyoriy ikkita x (x1,x2,...,xn ) va y (y1,y2,...,yn ) vektorlar uchun skalyar ko`paytmani quyidagicha aniqlasak (x,y) x1y1 x2y2 ... xn yn (2) Ko`rish qiyin emaski,ushbu kiritilgan skalyar ko`paytma uchun 1- 4 aksiomalar bajariladi. Bu evklid fazosi ko`p hollarda En orqali belgilanadi. 4-misol.Ushbu An chiziqli fazoda skalyar ko`paytmani (2) dan farqli ,unga nisbatan umumiy bo`lgan holda kiritaylik. Buning uchun n tartibli ushbu kvadrat matritsani qaraymiz: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A (3) ... ... ... ... n1 an2 ... ann Ushbu matritsa yordamida x1,x2,...,x n o`zgaruvchili bir jinsli ikkinchi tartibli ko`phad tuzamiz: a xixk , (4) Bunday ko`phad (3) matritsadan tuzilgan kvadtik forma deyiladi. (4) kvadratik forma musbat aniqlangan deyildi, agarda u x1,x2,...,xn o`zgaruvchilarning hammasi bir vaqtda nol teng bo`lmagan qiymatlarida musbat qiymatni qabul qilsa. Demak, musbat aniqlangan kvadratik forma faqat x1 x2 ... xn 0 bo`lganda nolga teng,boshqa barcha hollarda musbat qiymat qabul qiladi. (3) matritsa quyidagi ikkita shartni qanoatlantirsin: U musbat aniqlangan (4) kvadratik formani ifodalasin. S immetrik bo`lsin (bosh dioganalga nisbatan) ya`ni barcha i 1,2,...,n va k 1,2,...,n lar uchun aik aki shartni qanoatlantirsin. 1 - va 2- shartlarni qanoatlantiruvchi (3) matritsa yordamida An fazodagi ikkitax (x1,x2,...,xn ) va y (y1,y2,...,yn ) lar uchun skalyar ko`paytmani quyidagicha aniqlaymiz: (x,y) a xiyk , (5) Oson ko`rish mumkinki, bunday aniqlangan skalyar ko`paytma uchun 1-4 arsiomalar bajariladi. Ta`rif. Chiziqli R fazo normallangan deyiladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa: R dagi har bir x element uchun unning normasi ( uzunligi) deb ataluvchi va x deb belgilanuvchi haqiqiy son mos qo`yadigan qoida aniqlamgan bo`lsin. Ushbu aniqlangan qoida uchun quyidagi uchta aksioma bajarilsin: . x 0, agarda x noldan farqli element bo`lsa, x 0 agarda x 0 element bo`lsa. . x x barcha x elementlar va barcha haqiqiy sonlar uchun. . Ixtiyoriy x va y elemenlar uchun quyiqagi uchburchak tengsizligi yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi x tengsizlik o`rinli. II bob. Chiziqli operatorlar. 2.1.Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari. 1-ta`rif. V va W lar mos ravishda n va m o`lchovli chiziqli fazolar bo`lsin. V ni W ga o`tqazuvchi A operator deb, A:V W akslantirishga aytiladiki, u V ning har bir x elementini W fazoning biror y elementiga o`tqazadi. 2-ta`rif. V ni W ga o`tqazuvchi A operator chiziqli operator deyiladiki, agarda V ning ixtiyoriy ikkita x1va x2 hamda λ kompleks son uchun quyidagi shartlar bajarilsa: A(x1 x2) Ax1 Ax2 (operatorni additivligi) A( x) Ax (operatorning bir jinsligi) Agar W fazo kompleks tekislikdan iborat bo`lsa, u holda V ni W ga o`qazuvchi A chiziqli operator chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi. Agar W fazo V fazo bilan ustma-ust tushsa, u holda V ni V ga o`tqazuvchi chiziqli operator V fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi. A va B V ni W ga o`tqazuvchi ikkita chiziqli operator bo`lsin. Bu operatorlarning AB yig`indisi deb quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytamiz: (A B)x Ax Bx (1) A operatorning λ skalyarga ko`paytmasi Adeb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytiladi: ( A)x (Ax) (2) O nol operator deb, V fazoning barcha elementlarini W fazoning nol elementiga o`tqazuvchi operatorga aytiladi: Ox 0. A operatorga qarama-qarshi operator deb quyidagicha aniqlangan Aoperatorga aytiladi: A ( 1)A. Tasdiq. Barcha V ni W ga o`tqazuvchi operatorlarning L(V,W) to`plami yuqorida aniqlangan operatorlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari hamda tanlangan nol operator va qarama-qarshi operatorlarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi. L(V,W) to`plamni o`rganamiz. Aynan yoki birlik I operator deb quyidagi operatorga aytiladi: Download 1.02 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling