Mavzu: Umumiy o‘rta ta’lim maktab, allarida tenglama va tengsizliklarni o‘qitish metodikasi

Mavzu: Umumiy o‘rta ta’lim maktab, ALlarida tenglama va tengsizliklarni o‘qitish metodikasi.
Tenglamalar tasnifi.Teng kuchli tenglamalar.Chiziqli va kvadrat tenglamalar.Qaytma va yuqori darajali tenglamalar. Tenglamalar sistemasi. Tenglamalar sistemasini yechishni elementar usullari

REJA 1.Tenglama. Tenglamalar tasnifi. 2. Chiziqli va kvadrat tenglamalar. 3. Qaytma va yuqori darajali tenglamalar. 4. Tenglamalar sistemasi. 5. Tenglamalar sistemasini yechishning elementar usullari. 6.Ba’zibir tenglamalarniyangi o’zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini yechishga keltirish.

Tenglama – matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri. Ko’pgina ma’ruza va ilmiy masalalarda biror kattalikni bevosita o’lchash yoki tayyor formula bo’yicha hisoblash mumkin bo’lmasa, bu miqdor qanoatlantiradigan munosabat (yoki bir necha munosabat) tuzishga erishiladi. Noma’lum kattalikni aniqlash uchun tenglama (yoki tenglamalar sistemasi) ana shunday hosil qilinadi.
Matematikaning fan sifatida vujudga kelganidan boshlab uzoq vaqtgacha tenglamalar yechish metodlarini rivojlantirish algebraning asosiy tadqiqot predmeti bo’ldi. Tenglamalarni bizga odat bo’lib qolgan harfiy yozilishi XVI asrda uzil-kesil shakllandi.Noma’lumlarni lotin alifbosining oxirgi harflari, ma’lum miqdorlar (parametrlar)ni lotin alifbosining dastlabki harflari orqali belgilash an’anasi fransuz olimi R. Dekartdan boshlangan.
Matematikaning maktab kursidagi masalalari ichida tenglamalar haqidagi ta’limot eng muhim o’rin tutadi. Haqiqatdan ham, tenglamalar haqidagi ta’limot – funksiyalar haqidagi ta’limotga bog’langandir.U real voqelikdagi har xil hodisalarni tasvirlovchi miqdorlar orasidagi bog’lanishlarni va bu bog’lanishlarning ifodalanishlarini tushunib olishda o’quvchilarga yordam beradi.
Tenglamalar yangi sonlar kiritish manbalaridan biridir. Tenglamalar yechish ayniy shakl almashtirishlarning konkret tadbiq etilishini o’quvchilarga ko’rsatishga imkon beradi.Tenglamalar konkret mazmundagi masalalarni yechish uchun o’quvchilarga arifmetikadan ko’ra ancha sodda metodlarni beradi va tipik masalalardan bir qanchasini yechish usullarini umumlashtirishga imkon beradi.
Tenglama deb noma’lum son qatnashgan tenglikka aytiladi. Noma’lumning berilgan tenglamani to’g’ri tenglikka aylantiradigan qiymati tenglamaning ildizi (yechimi) deyiladi. Tenglamani yechish deganda tenglamaning hamma ildizlarini topish yoqi ildizlari yo’qligini ko’rsatish tushuniladi.
Maktab matematika kursida chiziqli tenglama tushunchasiga ta’rif berilmaydi. Konkret misollar keltirilib, ularni chiziqli tenglamalar deb o’rgatiladi.Chiziqli tenglamalarni yechish haqida dastlab 6-sinf matematika kursida, so’ngra 7-sinf algebra kursida tushuncha beriladi. Bunda quyidagi xossalar o’rgatiladi:
1-xossa. Tenglamaning istagan hadi ishorasini qarama-qarshisiga o’zgartirib, uning bir qismidan ikkinchi qismiga o’tkazish mumkin.
2-xossa. Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo’lmagan bir xil songa ko’paytirish yoki bo’lish mumkin.
Bu xossalar istagan bir noma’lumli birinchi darajali tenglamani yechish imkonini beradi. Buning uchun:

1. 
   Noma’lum qatnashgan hadlarni tenglikning chap qismiga, noma’lum qatnashmagan hadlarni esa o’ng qismiga o’tkazish lozim.
   

II. O’xshash hadlarni ixchamlash kerak;
III. Tenglamaning ikkala qismini noma’lum oldida turgan koeffitsiyentga (agar u nolga teng bo’lmasa) bo’lish kerak.
Har bir chiziqli tenglama bitta ildizga ega bo’lishi, ildizlarga ega bo’lmasligi yoki cheksiz ko’p ildizlarga ega bo’lishi misollar orqali tushuntiriladi.
Kvadrat tenglama tushunchasi VIII sinf algebra kursida o’tiladi. Bu tushunchani kiritish abstrakt-deduktiv usul orqali amalga oshiriladi, chunki bu tenglama uchun avvalo ta’rif beriladi, so’ngra tenglamaning umumiy ko’rinishi va uni yechish usullari hamda grafigi o’rganiladi.
Ta’rif. ko’rinishdagitenglama kvadrat tenglama deyiladi, bunda - berilgan sonlar, esa noma’lum.
Dastlab to’la kvadrat tenglama koeffitsiyentlariga ma’lum shartlar qo’yish orqali chala kvadrat tenglamalar hosil qilinadi va yechilishi o’rganiladi.
Kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratishni tushuntirilgandan so’ng undan foydalanib kvadrat tenglamani yechish mumkin bo’lgan formula keltirib chiqariladi.
Kvadrat tenglamaning haqiqiy sonlar to’plamida ikkita har xil, ikkita teng ildizlarga ega bo’lishi yoki ildizlarga ega bo’lmasligi hollari qaraladi.
So’ngra keltirilgan kvadrat tenglama va uni yechish formulasi o’rganiladi, Viet teoremasi isbotlanadi.
Kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar va ularni yechish o’rgatiladi.
Modul qatnashgan tenglamalar 8-sinf algebra kursida o’rgatiladi.
Modul qatnashgan tenglamalarni yechishni o’rgatishda sonning moduli ta’rifidan foydalaniladi. So’ngra hosil bo’lgan chiziqli tenglamalarni yechiladi.
Irratsional tenglamalarni yechish 9-sinf algebra kursida «Daraja qatnashgan tengsizlik va tenglamalar» nomli mavzuda o’rgatiladi. Bunda faqatgina kvadrat ildizlarni o’z ichiga olgan irratsional tenglamalarni yechish o’rgatiladi. Shuning uchun ham bu mavzu materialini o’tish jarayonida o’qituvchi o’quvchilarga sonning kvadrat ildizi va uning arifmetik ildizi degan tushunchalarni takrorlab tushuntirishi lozim.
Irratsional tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional tenglama ko’rinishiga keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun eng ko’p ishlatiladigan shakl almashtirish berilgan tenglikning har ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarishdir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish jarayonida yechilayotgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo’lishi mumkin, chunki bu ayniy tengliklarning o’ng tomonlarining aniqlanish sohasi chap tomonlarining aniqlanish sohasiga qaraganda kengroqdir.
Maktab matematika kursida irratsional tenglamalarning har ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarib yechish usuli qaraladi.
Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish usuli quyidagi ketma-ketliq asosida amalga oshiriladi:
a) berilgan irratsional tenglama ko’rinishga keltiriladi;
b) bu tenglamaning ikkala tomoni darajaga ko’tariladi;
v) natijada ratsional tenglama hosil bo’ladi;
g) hosil bo’lgan ratsional tenglama yechiladi va tekshirish
orqali chet ildiz aniqlanadi.
Ko’rsatkichli tenglama tushunchasi 10-11 sinflar uchun algebra va analiz asoslari kursida kiritiladi. Ko’rsatkichli tenglama tushunchasini tushuntirishdan oldin o’qituvchi o’quvchilarga daraja, ko’rsatkichli funksiya va ularning xossalari haqidagi ma’lumotlarni takrorlashi, so’ngra ko’rsatkichli tenglama ta’rifini berishi lozim.
Har qanday ko’rsatkichli tenglama ayniy almashtirishlarni bajarish orqali algebraik yoki ko’rinishdagi sodda holga keltirilib yechimlari topiladi.Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish darajaning quyidagi xossalariga asoslanadi:

1. 
   Agar o’zaro teng ikkita darajaning asoslari teng bo’lsa, ularning daraja ko’rsatkichlari ham o’zaro teng bo’ladi, ya’ni agar bo’lsa, bo’ladi, albatta bu yerda va bo’lishi kerak.
   
2. 
   Agar o’zaro teng darajalarning ko’rsatkichlari teng bo’lsa, u holda ularning asoslari ham teng bo’ladi, ya’ni bo’lsa, u holda bo’ladi.
   

Maktab matematika kursidagi ko’rsatkichli tenglamalar asoslarini tenglash, kvadrat tenglamaga keltirish, logarifmlash, yangi o’zgaruvchini kiritish va guruhlash usullari bilan yechiladi.
Maktab matematika kursida logarifmik tenglamalarni yechish 10-sinfda o’rgatiladi.
Logarifmik tenglamani yechishni o’rgatishdan oldin o’qituvchi logarifmik funksiya va uning xossalari haqidagi ma’lumotlarni takrorlab berishi lozim.
tenglamani yechish uchun tenglamani yechish kerak va topilgan yechimlar ichidan tengsizliklarni qanoatlantiradiganlarini tanlab olinadi. tenglamaning qolgan ildizlari esa tenglama uchun chet ildiz bo’ladi. Har qanday logarifmik tenglama ayniy almashtirishlar yordamida uni ko’rinishga keltirilib, tenglamani yechish orqali va yangi o’zgaruvchi kiritish orqali yechiladi. Logarifmik tenglamalarni yechishni uning aniqlanish sohasini topishdan boshlash lozim.
Maktab matematika kursida trigonometrik tenglamalarni yechish 10-sinf algebra va analiz asoslari kursida o’rgatiladi. Bunda dastlab o’quvchilarga 9-sinf algebra kursida o’rganilgan graduslarda yoki radianlarda trigonometrik ifodalarni shakl almashtirishda foydalaniladigan asosiy formulalar eslatiladi, sinuslar yig’indisi va ayirmasi, kosinuslar yig’indisi va ayirmasini ko’paytmaga keltirish formulalari keltirib chiqariladi. So’ngra eng sodda trigonometrik tenglamalar bo’lmish tenglamalarni yechish o’rgatiladi.
Tenglamaning ildizlari yoqolmasligi uchun uni yechish jarayonida faqat shunday shakl almashtirishlardan foydalanish kerakki, natijada berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi hech o’zgarmasin, boshqacha aytganda, faqat aynan shakl almashtirishlarni bajarishi kerak.
Chiziqli va kvadrat tenglamalar.
(1)
ko’rinishdagi tenglamaga birinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi.
Biror ifoda, unda qatnashayotgan harf birinchi darajada bo’lsa, bu ifoda shu harfga nisbatan chiziqli deyiladi.
(1) tenglama noma’lum ga nisbatan birinchi darajada qatnashgani sababli chiziqli tenglama deyiladi.(1) tenglamani yechish uchun ozod had ni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib, so’ngra tenglikni 0 ga bo’lish kifoya, ya’ni

(1)tenglama chiziqli tenglamaning engsodda ko’rinishi bo’lib, boshqa ko’rinishdagi tenglamalar (1) ko’rinishga keltiriladi .
Masalan: chiziqli tenglamani yechish uchun qavslarni ochib chiqib (1) ko’rinishga keltiramiz:

berilgan tenglamaning yechimi (ildizi) dir.
Agar berilgan tenglamada noma’lum kasrning maxrajida kelsa, avval kasr maxrajidan qutqazilib, yuqorida yechilgan tenglamaga o’hshash tenglamaga keltirilib yechiladi.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish.Ravshanki, bu tenglamada bo’lsa, kasrning maxraji nolga teng bo’ladi. Shu sababli deb, tenglamani ga ko’paytirsak,





Javob:
Kvadrat tenglama.
Ushbu
(2)
ko’rinishdagi tenglamaga kvadrad tenglama deyiladi, bu yerda o’zgarmas koeffitsiyentlar. Kvadrat tenglamani ildizlarini topish uchun (2) tenglikni ga ko’paytiramiz:

yoki (3)
(3) formula bilan topilgan va (2) tenglamaning ildizidir.
2-misol. kvadrat tenglamani yeching.
Yechish. bo’lganida (3) formulaga asosan.

Agar kvadrat tenglamada bo’lsa, tenglikni ga bo’lsak, hosil bo’lgan kvadrat tenglamaga keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi va
(4)
ko’rinishda yoziladi, bu yerda bo’lib, (3) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi. (4)
Agar (2) kvadrat tenglamaning va koeffitsiyentlaridan biri yoki ikkalasi bir vaqtda nolga teng bo’lsa, hosil bo’lgan tenglamaga chala kvadrat tenglama deyiladi.
Chala kvadrat tenglamalar quyidagi ko’rinishlarga ega bo’ladi:
1)
Agar va ning ishoralari qarama qarshi bo’lsa, ikkita haqiqiy ildizga ega bo’lamiz.
2) bo’lsa,
bo’ladi.
3) bo’lsa bo’ladi.
Kvadrat tenglamani tekshirganda quydagi uch hol qaraladi:
1. bunda kvadrat tenglamaning iddizlari haqiqiy va har xil
bo’lib, , bo’ladi.

2. 
   bo’lsa, kvadrat tenglama ikkita bir xil haqiqiy ildizga ega bo’ladi, ya’ni .
   

3. bo’lsa kvadrat tenglama ildizga ega bo’lmaydi.
Qaytma va yuqori darajali tenglamalar.
Agar to’rtinchi darajali (5) tenglama koeffitsiyentlari uchun va tengliklar o’rinli bo’lsa, u holda bunday tenglama “qaytma” tenglama deyiladi.
3-misol. tenglamani yeching.
Yechish. bo’lganligi uchun tenglamaning har ikkala tomonini ga bo’lamiz.


Endi almashtirish bajarimiz. U holda
Natijada ga nisbatan ushbu tenglamaga ega bo’lamiz.


Bu tenglama ildizlarini topamiz.

Kiritilgan almashtirishlarni inobatga olib, berilgan tenglama ildizlarini topamiz.



,
Berilgan tenglama 4 ta ildizga ega.

Agar (5) tenglamada koeffitsiyentlar uchun tenglik o’rinli bo’lsa ham u qaytma tenglama kabi yechiladi.
4-misol. tenglamani yeching.
Yechish. ;
Demak, ko’rsatilgan shartlar bajarilyapdi: . Tenglamaning har ikkala tomonini ga bo’lamiz.


Endi deb belgilash kiritamiz va quyidagi tenglamani hosil qilamiz.

Bu tenglama ildizlarini topamiz.

Kiritilgan almashtirishlarni e’tiborga olib, berilgan tenglama ildizlarini topamiz.


Berilgan tenglama 4 ta ildizga ega.

(1) tenglama berilgan bo‘lsin. (1) tenglamaning aniqlanish sohasi.
D sonli to‘plamdan iborat bo‘lsa, bo‘ladi. Bu yerda va mos ravishda va funksiyalarning aniqlanish sohalaridan iborat bo‘lgan sonli to‘plamlardir. (1) tenglamaD sohadaba’zi bir ayniy almashtirishlardan (umumiy maxrajga keltirish, qavslarni ochibchiqish, hadlarni tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga olibo‘tish, o‘xshash hadlarni ixchamlashtirish va hokazo.Keyin ko‘rinishni qabul qilishi mumkin.
Ta’rif. Agar (1) va (2) tenglamalarning ikkalasi ham bir xil yechimlarga ega bo‘lsa, ya’ni yechimlar to‘plami ustma-ust tushsa, bunday holda (1) va (2) tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi.

ko‘rinishdagi tenglama yuqori darajali (butun ratsional) tenglama deyiladi.
ko‘rinishdagi tenglama kasr-ratsional tenglama deyiladi. Bu yerda va - ko‘phadlar. Ratsional tenglamalarni yechishda asosan quyidagi metodlardan foydalaniladi:
1) Ko‘paytuvchilarga ajratish usuli.
2) Yangi o‘zgaruvchilar kiritish usuli.
5-misol. tenglamani yeching.
Yechish.Tenglamaning chap tomonini ko‘paytuvchilarga ajratamiz.

.
Bundan yoki ga kelamiz. Birinchi tenglamadan ga ega bo‘lamiz. da yechimga ega emas.
Javob:
6-Misol. tenglamani yeching.
Yechish.To‘la kvadratdan foydalanib tenglamani chap qismini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:


Agar deb belgilash kiritamiz. ga nisbatan, tenglama hosil bo‘ladi. Tenglamani yechib ildizlarga ega bo‘lamiz.
bo‘lganda Ildizi
bo‘lganda . Ildizi
Javob:
Tenglamalar sistemasi.
Tenglamalar sistemasi deb,

ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi. Bu yerda lar o‘zgaruvchilar, lar koeffitsientlar, lar ozod hadlar deyiladi.
Ikki o’zgaruvchili 2 ta tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
(1)
(1) sistemaning har ikkala tenglamasidagi x va y larni o’rniga qo’yganda ularni to’g’ri sonli tenglikka aylantiradigan ( juftlik uning yechimi deyiladi. Sistemani yechish-uning hamma yechimlarini topish demakdir.2 ta
(2)
va
(3)
tenglamalar sistemasi bir hil yechimga ega bo’lsa ya’ni (2) sistemaning har qanday yechimi (3) sistemаning ham yechimi va aksincha (3) sistemaning har qanday yechimi (2) sistemаning ham yechimi bo’lsa (2) va (3) sistemalar teng kuchli (ekvivalent) bo’ladi. Ikkita ixtiyoriy yechimga ega bo’lmagan sistemalar ham teng kuchli bo’ladi. Tenglamalar sistemasini yechishda asosan quyidagi elementar usullardan foydalaniladi:
1)Sistemani chiziqli almashtirish.
2)Sistemani sodda sistemalar diz’yunksiyasiga keltirish
3)Noma’lumlarni yo’qotish usuli.
4)Noma’lumlarni almashtirish usuli va hokazo.
Tenglamalar sistemasini yechishning elementar usullari.
1. Chiziqli almashtirish usuli
(4)
sistema
(5)
sistemaga teng kuchli.
2.Sistemani sodda sistemalar diz’yunksiyasiga keltirish.
(6)
sistema
(7) va (8)
sistemalar diz’yunksiyasiga teng kuchli.
Masalan sistema
va
sistemalarga teng kuchli.
Teorema.Agar ,… va g funksiyalar biror M to’plamda aniqlangan bo’lsa, u holda bu to’plamda

sistema
…
sistemalar diz’yunksiyasiga teng kuchli.
3. O’rniga qo’yish usuli.
Bu usul orqali 2 o’zgaruvchili tenglamalar sistemasi bir o’zgaruvchili bitta tenglamani yechishga keltiriladi.
Teorema.
(10)
sistema
(11)
sistemaga teng kuchli.
4. Noma’lumlarni yo’qotish usuli.
(12)
sistema berilgan bo’lsin.Bu sistemaning bitta tenglamasi masalan birinchisini x yoki y ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin. =0 tenglama tenglamaga teng kuchli bo’lsin. U holda (12) sistema

sistemaga teng kuchli.
5. O’zgaruvchilarni almashtirish (yangi o’zgaruvchi kiritish) usuli.
6-misol: sistemani yeching.
Yechish. almashtirish bajaramiz.

bu sistema

sistemaga teng kuchli.

Bundan
Javob:(2;3)
7-misol.Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechish. Tenglamalar sistemasini yechish uchun, birinchi va ikkinchi tenglamalarni umumiy maxrajga keltiramiz.

Bu esa birorta ga keladi, ya’ni mos ravishda .
Javob: .
Ba’zi bir tenglamalarni yangi o’zgaruvchilarga nisbatan
tenglamalar sistemasini yechishga keltirish.
Ba’zi hollarda tenglamalarni yangi kiritilgan o’zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Shunday tenglamalarni yechishga misollar keltiramiz.
8-misol. (1)tenglamani yeching.
Yechish. (1) tenglamaning yechimi bo’lsin. va yangi o’zgaruvchi kiritib quyidagi sistemani hosil qilamiz.
(2)

(2) sistemani quyidagi ko’rinishda yozamiz.
(3)
(3) sistemaning 2-tenglamasiga o’rniga ni qo’yib


tenglamani hosil qilamiz. Bundan yoki Shunday qilib, va ni topish uchun 2 ta sistemani hosil qilamiz.

Birinchi sistemaning yechimi
va .
Bundan (1) tenglamaning yechimi va sonlari bo’lishi mumkin. Tekshirish bu ikkala son ham tenglamaning yechimi bo’lishini ko’rsatadi.
Javob: .
9-misol. (4)tenglamani yeching.
Yechish. (4) tenglamaning yechimi bo’lsin. Yangi o’zgaruvchi kiritamiz. U holda va ni topish uchun yangi sistema hosil qilamiz.
(5)
bo’lgani uchun yangi va o’zgaruvchi kiritib (5) sistemani quyidagi ko’rinishda yozamiz.

Bu sistemaning yechimi va .
va larni topish uchun quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

1-sistemaning yechimi , va .
2-sistema yechimga ega emas.
va lar tekshirish natijasida (4) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Javob: , .
Nazorat savollari.
1.Tenglamaga ta’rif bering.
2. Qanday tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi?
3.Tenglamalarning qanday turlarini bilasiz?
4.Chiziqli tenglamalar qanday ko’rinishga ega va qanday yechiladi?
5. Kvadrat tenglamalarqanday ko’rinishga ega va qanday yechiladi?
6. Qanday tenglamalar qaytma tenglamalar deyiladi?
7.Qaytma tenglamalar qanday yechiladi?
8.Tenglamalar sistemasi deganda nimani tushunasiz?
9. Tenglamalar sistemasini yechishning qandayelementar usullarini bilasiz?
10.Sistemani chiziqli almashtirish deganda nimani tushunasiz?
11.Sistemani sodda sistemalar diz’yunksiyasiga keltirish deganda nimani
tushunasiz?
Foydalanilgan adabiyotlar.
1.Muhamedov K. “Elementar matematikadan qo’llanma” O’quv qo’llanma” Sharq nashriyoti matbaa ak.komp.Toshkent 2008 y.
2.Usmonov F.R, Isomov R.D “Matematikadan qo’llanma” Oʻquv qoʻllanma. Yangi asr avlodi nashriyoti. Toshkent 2006 y.
3.Q.Jumaniyozov va G.Muhammedova “Matematikadan misol va masalalar yechish metodikasi” Oʻquv qoʻllanma T: «Brok class servis».2014 y.