13-mavzu. Unitar va normat almashtirishlar. 13. 1-ta’rif

13-mavzu. Unitar va normat almashtirishlar.


13.1-ta’rif. Agar chiziqli almashtirish uchun bo‘lsa, u holda almashtirish unitar chiziqli almashtirish deyiladi.
Boshqacha aytganda, unitar almashtirishlar shart bilan aniqlanadi.
O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlardan farqli ravishda, ikkita unitar almashtirishlarning ko‘paytmasi yana unitar almashtirish bo‘ladi. Haqiqatan ham,

Xuddi shu kabi tenglik ham o‘rinli.
Unitar almashtirishlar quyidagicha geometrik ma’noga ega. Xar qanday unitar almashtirish o‘lchamli Yevklid fazosida skalyar ko‘paytmani saqlaydi, ya’ni ixtiyoriy uchun
Aksincha, skalyar ko‘paytmani saqlovchi xar qanday chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, agar bo‘lsa, u holda

Agar xar qanday va vektorlar uchun

bo‘lsa, u holda

Bichiziqli formalarning tengligidan mos almashtirishlar tengligi kelib chiqadi, shuning uchun ya’ni unitar almashtirish.
Xususiy holda bo‘lganda, tenglik unitar, almashtirishlar vektorning uzunligini o‘zgartirmasligini bildiradi.
Chiziqli almashtirishning unitar almashtirish bo‘lish shartini uning matritsasi orqali ifodalaymiz. Buning uchun biror ortonormal bazis olib, bu bazisda almashtirishning matritsasini yozamiz:
(13.2)
U holda qo‘shma almashtirishning bazisdagi matritsasi
(13.3)
ko‘rinishida bo‘ladi.
Chiziqli almashtirishning unitarlik sharti (13.2) va (13.3) matritsalar ko‘paytmasi birlik matritsaga teng bo‘lishini bildiradi. Agar ularni ko‘paytirib, ko‘paytma elementlarini birlik matritsaning mos elementlariga tenglasak,
(13.4)
munosabatlarga ega bo‘lamiz. Demak, ortonormal bazisda shart chiziqli almashtirish matritsasining biror satr elementlari bilan boshqa yo‘l elementlari qo‘shma elementlariga ko‘paytmalarining yig‘indisi nolga teng, har qanday satr elementlari modullarining kvadratlari yig‘indisi esa 1 ga teng ekanligini bildiradi.
Ikkinchi tomondan esa, shartdan
(13.5)
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu tengliklar (13.4) tenglikka o‘xshash bo‘lib, bunda matritsaning yo‘llari o‘rnida uning ustunlari qatnashadi.
Unitar almashtirishlarning geometrik ma’nosi shundan iboratki, chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘lishi uchun u ortonormal bazisni yana ortonormal bazisga o‘tkazishi zarur va yetarlidir.
Haqiqatan ham, ortonormal basizda

bo‘lsin. U holda

Yuqoridagi (13.5) tengliklardan esa,

kelib chiqadi.
13.10-lemma. Unitar almashtirishning xos sonlari moduli 1 ga teng.
Isbot. Aytaylik, vektor unitar almashtirishning xos vektori va esa unga mos keluvchi xos son bo‘lsin, ya’ni

Bu holda

ya’ni demak, 
13.11-lemma. Aytaylik, vektor unitar chiziqli almashtirish-ning xos vektori bo‘lsin. to‘plam almashti-rishga nisbatan o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, vektor unitar chiziqli almashtirishning xos vektori va bo‘lsin. U holda va Unitar almashtirishning xos soni moduli 1 ga teng ekanligidan ga ega bo‘lamiz va quyidagi tengliklardan


ekanligi kelib chiqadi, ya’ni Demak, qism fazo ga nisbatan invariant qism fazo ekan. 
13.12-teorema. o‘lchamli Yevklid fazosidagi unitar chiziqli almashtirish ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega.
Isbot. Avvalgi mavzulardan ma’lumki, unitar almashtirish ham hech bo‘lmaganda bitta xos vektorga ega. Aytaylik, xos vektor bo‘lsin, u holda 13.11-lemmaga ko‘ra, chiziqli fazoning ga ortogonal vektorlaridan iborat bo‘lgan o‘lchamli qism fazo ga nisbatan invariant bo‘ladi.
Bu qism fazoda ham almashtirish kamida bitta xos vektorga ega. orqali qism fazoning ga ortogonal barcha vektorlaridan iborat bo‘lgan invariant qism fazoni belgilaymiz. Bu jarayonni davom ettirish natijasida

invariant qism fazolarni va bu qism fazolarda yotuvchi juft-jufti bilan ortogonal xos vektorlarni hosil qilamiz. 
13.13-teo rema. o‘lchamli fazoda ixtiyoriy unitar almashtirish uchun shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda almashtirishning matritsasi diagonal shaklda bo‘lib, dioganal elementlari modullari 1 ga teng bo‘lgan sonlardan iborat bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, unitar almashtirish bo‘lsin. Avvalgi teoremada hosil qilingan ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan vektorlarni bazis sifatida olaylik. U holda,




Demak, bazisda almashtirishning matritsasi dioganal ko‘rinishga keladi. 13.5-lemmaga muvofiq sonlarning modullari 1 ga tengdir. Ta’kidlash joizki, 13.13-teoremaning teskarisi ham o‘rinlidir, ya’ni, agar biror ortonormal bazisda almashtirishning matritsasi dioganal ko‘rinishga kelib, dioganalda turgan sonlarning moduli birga teng bo‘lsa, u holda unitar almashtirishdir.