Ortonormal bazislar. Gramm-shmidt formulalari
Download 125.5 Kb.
|
Ortonormal bazislar. Gramm-shmidt formulalari
- Bu sahifa navigatsiya:
- Teorema (ortonormalbazisniqurish)
ORTONORMAL BAZISLAR. GRAMM-SHMIDT FORMULALARI REJA: Ortogonal basis. Ortonormal basis. Ortonormalbazisniqurish.(Gramm-Shmidtformulasi) Kalitso’zlar.Ortogonal, ortonormal, basis, ortogonallashtirishjarayoni, ortonormallashtirish, Gramm-Shmidtformulasi, fazo, qismfazo. Ortonormalbazis 1-ta’rif. En evklidfazodagie1,e2,...,en vektorlaruchun munosabato’rinlibo’lsa, buvektorlarortogonal basis tashkilqiladideyiladi. 2-ta’rif. Agar orthogonal bazisningbarchavektorlaribirlikvektorlarbo’lsa, ya’ni bo’lsa, uholda e1,e2,...,en ortonormal basis deyiladi. Teorema (ortonormalbazisniqurish) Harqandayevklidfazodaortonormal basis mavjud. Isboti.Teoremani n = 3uchun isbotlaymiz. Farazqilaylik E1,E2,E3 - E3evklidfazodagiixtiyoriybazisbo'lsin. Bufazoda ortonormalbasisniquyidagichaquramiz: , buyerda soninishundaytanlaymizki (e1,e2) = 0bo’lsin. Uholda bo’ladi.
Ko’rinibturibdiki, E1 vaE2 ortogonalbo’lsa, bo’ladi, ya’nibasisvectorbo’lganiuchune2 = E2 va E2 ≠0 bo’ladi. Endie3vektorni ko’rinishdaaniqlaymiz, buyerda sonlarnishundayaniqlaymizki, e3 vektor e1,e2vektorlarbilanortogonalbo’lsin, ya’ni bo’lsin.
(e1,e2)=0ekanligidanquyidagilarkelibchiqadi: Ma’lumki, e1 va e2vektorlar E3 vektorbilanortogonalbo’lsa, bo’ladi, u holdae3 = E3qilibolishkerak. Albattabo’ladi, chunkiE1, E2 vaE3 chiziqlibog’liqsizvektorlardir, demakbo’ladi. Keltirilganma’lumotlargako’ra e3vektorni e1 va e2 vektorlarningchiziqlikombinatsiyasiko’rinishidayozishmumkinemas, ularchiziqlibog’liqsizvajuft-juftibilanortogonaldir. Demak e1, e2, e3 vektorlar E3evklidfazodaortogonalbazisbo’ladi. Endibuortogonalbazisninormallashtiramiz, ya’niharbirhosilqilinganvektornio’zininguzunligigabo’lamizva ko’rinishidagiortonormalbazisnihosilqilamiz. Teoremaisbotlandi. Yuqoridagiteoremaningisbotidaqo’llanilganusulortogonallashtirishjarayoni deb ataladi.Teoremaniisbotlashjarayonida, juft-juftibilanortogonalbo’lganvektorlarchiziqlibog’liqsizbo’lishinianiqladik. Bundantashqari En fazodaortonormalbazisbo’lsa, u holdaixtiyoriyvectornibubazisorqaliyagonausuldaquyidagichayoyishmumkin: buyerda x1, x2,...,xn –sonlar xvektorningortonormalbazisdagikoordinatalarideyiladi. Kelgusida biz faqatortonormal basis bilanishlaymiz, shuninguchunyozuvnisoddalashtirishmaqsadida basis vektorlardaginollarnitushuribqoldiramiz. Misol.evklidfazodaquyidagivektorlarorqaliortonormal basis qurilsin. Dastlaborthogonal basisquramiz.vektorlarorasidao’zaro orthogonal bo’lganlaribor-yo’qliginitekshiramiz. Buninguchunskalyarko’paytmalarnihisoblaymiz: . Ko’rinibturibdiki vavektorlarortogonal.Shuninguchun orthogonalbazisdako’rinishdatanlaymiz. Endivektorniortogonalizatsiyaamaliyordamidaaniqlaymiz: . vektorlarningortogonallikshartidanquyidagilarkelibchiqadi: . Shundayqilib gatengbo’ldi. Hosilbo’lganvektorlarninormallashtiramiz,ya’niortonormalbazisnihosilqilamiz: Download 125.5 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling